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§1. SOBRE LOS NÚMEROS REDONDOS Y NO REDONDOS
«Del Portal salió un hombre de unos 49 años que después de andar por la calleunos 196 metros entró en una tienda, compró dos septenas de huevos y continuósu camino...» ¿Verdad que esta descripción parece un tanto extraña? Cuandoestimamos aproximadamente cierta magnitud, la edad de tina persona, unadistancia, etc., siempre recurrimos a números redondos y, como regla, decimos«unos 200 metros», «una persona de unos 50 años», etc.
Es más fácil memorizar los números redondos que los demás; es más simple operary realizar las operaciones matemáticas con ellos. Por ejemplo, para nadieresulta difícil multiplicar mentalmente 100 por 200; pero si se trata demultiplicar dos números no redondos de tres dígitos, digamos 147 y 343, eso noestá al alcance de cualquiera sin recurrir al lápiz y al papel.
Al hablar de los números redondos, no nos damos cuenta, en general, que ladivisión de los números en redondos y no redondos es convencional por suesencia y que un mismo número resulta redondo o no según el sistema derepresentación de los números o, como suele decirse, según el sistema denumeración que empleamos.
Para analizar esta cuestión veamos, ante todo, qué representa en sí el habitualsistema decimal de numeración que usamos. En este sistema todo número enteropositivo se representa como la suma de unidades, decenas, centenas, etc., osea, como la suma de diferentes potencias del número 10 con coeficientes cuyovalor va del 0 al 9 inclusive. Por ejemplo, la denotación
2548
significa que el número considerado contiene 8 unidades, 4 decenas, 5 centenasy 2 millares, o sea, 2548 es la abreviatura de la expresión
2*103 + 5*102 + 4*101+ 8*100.
Sin embargo, con no menos éxito podríamos representar todo número comocombinación de potencias de otro número entero cualquiera (a excepción del 1)que no sea el número 10; por ejemplo, el número 7.
En este sistema, llamado sistema septenario de numeración o sistema denumeración de base 7, contaríamos desde el o hasta el 6 corrientemente, peroconsideraríamos el número 7 como unidad del orden de unidades siguientes. Esnatural representarlo en nuestro nuevo sistema septenario por el símbolo
10
(unidad del segundo orden). Para no confundir esta denotación y el númerodecimal 10, le agregaremos el subíndice, o sea, en lugar del 7 escribiremosdefinitivamente
(10)7
Las unidades de los órdenes sucesivos son los números 72, 73, etc. Lo natural es representarlas así
(100)7, (1000)7, etc.
Todo número entero puede ser obtenido como combinación de las potencias delnúmero 7, es decir, puede ser representado en la forma
ak*7k + ak-1*7k-1 + ak-2*7k-2 +...+ a1*7 + a0
donde cada uno de los coeficientesa0, a1 ... ak puede tomar cualquier valor desde el 0 hasta el 6. Igual que en el caso delsistema decimal, lo natural para representar los números en el sistema de base7 es omitir sus potencias escribiendo el número en la forma
(akak-1 ... a1a0)7
empleando de nuevo el subíndice para subrayar que en el sistema de numeraciónutilizado se ha tomado por base precisamente el número 7.
Veamos un ejemplo. El número decimal 2548 puede ser representado en la forma
1*74 + 0*73 + 3*72+0*71 + 0
o sea, según hemos convenido, en la forma
(10300)7
Por lo tanto,
(2548)10= (10300)7
Prestemos atención a que en este sistema septenario serán redondos los númerosque no lo son en el sistema decimal. Por ejemplo,
(147)10 = (300)7 y (343)10 = (1000)7
(ya que 147 = 3 * 72 y 343 = 73); al mismo tiempo tenemos
(100)10 = (202)7 y (500)10 = (1313)7, etc.
Por eso, en el sistema septenario resulta más fácil multiplicar mentalmente(147)10 por (343)10 que (100)10 por (200)10. Si usásemos el sistema septenario, consideraríamos la edad de 49 años (y node 50) una fecha redonda celebrándola como un aniversario, diríamos «unos 98metros» o «unos 196 metros» al estimar a ojo las distancias (porque (98)10 = = (200)7 y (196)10 = (400)7 son números redondos en el sistema septenario), contaríamos los objetos porseptenas (y no por decenas), etc. En una palabra, si fuese comúnmente aceptadoel sistema septenario, a nadie sorprendería la frase con la que hemos comenzadonuestra exposición.
Sin embargo, el sistema septenario no tiene la menor difusión y no puedecompetir de ninguna forma con el sistema decimal. ¿Por qué razón?
«Del Portal salió un hombre de unos 49 años que después de andar por la calleunos 196 metros entró en una tienda, compró dos septenas de huevos y continuósu camino...» ¿Verdad que esta descripción parece un tanto extraña? Cuandoestimamos aproximadamente cierta magnitud, la edad de tina persona, unadistancia, etc., siempre recurrimos a números redondos y, como regla, decimos«unos 200 metros», «una persona de unos 50 años», etc.
Es más fácil memorizar los números redondos que los demás; es más simple operary realizar las operaciones matemáticas con ellos. Por ejemplo, para nadieresulta difícil multiplicar mentalmente 100 por 200; pero si se trata demultiplicar dos números no redondos de tres dígitos, digamos 147 y 343, eso noestá al alcance de cualquiera sin recurrir al lápiz y al papel.
Al hablar de los números redondos, no nos damos cuenta, en general, que ladivisión de los números en redondos y no redondos es convencional por suesencia y que un mismo número resulta redondo o no según el sistema derepresentación de los números o, como suele decirse, según el sistema denumeración que empleamos.
Para analizar esta cuestión veamos, ante todo, qué representa en sí el habitualsistema decimal de numeración que usamos. En este sistema todo número enteropositivo se representa como la suma de unidades, decenas, centenas, etc., osea, como la suma de diferentes potencias del número 10 con coeficientes cuyovalor va del 0 al 9 inclusive. Por ejemplo, la denotación
2548
significa que el número considerado contiene 8 unidades, 4 decenas, 5 centenasy 2 millares, o sea, 2548 es la abreviatura de la expresión
2*103 + 5*102 + 4*101+ 8*100.
Sin embargo, con no menos éxito podríamos representar todo número comocombinación de potencias de otro número entero cualquiera (a excepción del 1)que no sea el número 10; por ejemplo, el número 7.
En este sistema, llamado sistema septenario de numeración o sistema denumeración de base 7, contaríamos desde el o hasta el 6 corrientemente, peroconsideraríamos el número 7 como unidad del orden de unidades siguientes. Esnatural representarlo en nuestro nuevo sistema septenario por el símbolo
10
(unidad del segundo orden). Para no confundir esta denotación y el númerodecimal 10, le agregaremos el subíndice, o sea, en lugar del 7 escribiremosdefinitivamente
(10)7
Las unidades de los órdenes sucesivos son los números 72, 73, etc. Lo natural es representarlas así
(100)7, (1000)7, etc.
Todo número entero puede ser obtenido como combinación de las potencias delnúmero 7, es decir, puede ser representado en la forma
ak*7k + ak-1*7k-1 + ak-2*7k-2 +...+ a1*7 + a0
donde cada uno de los coeficientesa0, a1 ... ak puede tomar cualquier valor desde el 0 hasta el 6. Igual que en el caso delsistema decimal, lo natural para representar los números en el sistema de base7 es omitir sus potencias escribiendo el número en la forma
(akak-1 ... a1a0)7
empleando de nuevo el subíndice para subrayar que en el sistema de numeraciónutilizado se ha tomado por base precisamente el número 7.
Veamos un ejemplo. El número decimal 2548 puede ser representado en la forma
1*74 + 0*73 + 3*72+0*71 + 0
o sea, según hemos convenido, en la forma
(10300)7
Por lo tanto,
(2548)10= (10300)7
Prestemos atención a que en este sistema septenario serán redondos los númerosque no lo son en el sistema decimal. Por ejemplo,
(147)10 = (300)7 y (343)10 = (1000)7
(ya que 147 = 3 * 72 y 343 = 73); al mismo tiempo tenemos
(100)10 = (202)7 y (500)10 = (1313)7, etc.
Por eso, en el sistema septenario resulta más fácil multiplicar mentalmente(147)10 por (343)10 que (100)10 por (200)10. Si usásemos el sistema septenario, consideraríamos la edad de 49 años (y node 50) una fecha redonda celebrándola como un aniversario, diríamos «unos 98metros» o «unos 196 metros» al estimar a ojo las distancias (porque (98)10 = = (200)7 y (196)10 = (400)7 son números redondos en el sistema septenario), contaríamos los objetos porseptenas (y no por decenas), etc. En una palabra, si fuese comúnmente aceptadoel sistema septenario, a nadie sorprendería la frase con la que hemos comenzadonuestra exposición.
Sin embargo, el sistema septenario no tiene la menor difusión y no puedecompetir de ninguna forma con el sistema decimal. ¿Por qué razón?
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