Question

Funciones exponenciales y logarítmicas

Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula B(t) = c e
kt donde c y
k son constantes y B(t) representa el número de bacterias en función del tiempo. En el instante
t = 0 hay 106
bacterias. ¿En cuánto tiempo habrá 107
bacterias, si en 12 minutos hay 2 . 106
bacterias?.

Answer 1

Respuesta:

MODELOS CONTINUOS I

EJERCICIO 4.1 Los siguientes datos fueron reunidos por un investi-

gador durante los primeros 10 minutos de un experimento destinado a

estudiar el aumento de bacterias.

N´umero de minutos 0 10

N´umero de bacterias 5.000 8.000

Suponiendo que el n´umero de bacterias crece exponencialmente,

¿cu´antas bacterias habr´a despu´es de 30 minutos?.

• Sea y(t) el n´umero de bacterias presentes en el cultivo despu´es de t minutos. Como el

n´umero de bacterias crece exponencialmente, y puesto que al comienzo hab´ıa 5.000

bacterias, y(t) ser´a una funci´on de la forma

y(t) = y(0)e

rt = 5.000e

rt

.

Ya que pasados 10 minutos hay 8.000, se obtiene

8.000 = 5.000e

10r ⇒ r = 0.047 .

En consecuencia, al cabo de 30 minutos el n´umero de bacterias ser´a

y(30) = 5.000e

0.047×30 = 20.479

Answer 2

Habrá 107 bacterias luego de aproximadamente 0.0377 minutos

Tenemos que la población de bacterias crece de acuerdo a la formula:

B(t) = c*exp(kt) donde los valores de c y k son constantes, supondremos que t esta dado en minutos, entonces tenemos que para t = 0, entonces hay 106 bacterias, su sustituimos

c*exp(k*0) = 106

c*1 = 106

c = 106

Luego si en 12 minutos hay 2106 bacterias, tenemos que:

106*exp(k*12) = 2106

exp(12k) = 2106/106

12k = ln(2106/106)

k = ln(2106/106)/12

k = 0.2490

Queremos ver cuando hay 107 bacterias:

106*exp(0.2490*t) = 107

exp(0.2490*t) = 107/106

0.2490*t = ln(107/106)

t = ln(107/106)/0.2490 = 0.0377

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