Problema. Utilidades marginales.
El editor de una revista descubre que si fija un precio de $1 a su revista, vende 20,000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio fijado es de $1.50, sus ventas sólo serán por 15,000 ejemplares. El costo de producir cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de $10,000 al mes. Suponiendo una ecuación de demanda lineal, calcula su función de utilidad marginal y determina el precio de la revista que haga la utilidad marginal igual a cero. Evalúa la utilidad misma cuando el precio es: $1.80, $1.90 y $2. Determina la función de ingreso (función cuadrática) y de costos (función lineal). Determina la función de utilidad. Por último, la función marginal (derivando la función de utilidad).

Respuestas

Respuesta dada por: mafernanda1008

1. Calculemos la demanda:

La ecuación de una recta que pasa por los puntos A(x1,y1) B(x2,y2) es:

y - y1 = m*(x - x1)

Donde m es la pendiente de la recta y se determina por:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Como se supone una demanda lineal entonces debemos formar una función con ecuación lineal, donde como el eje de abscisas "x" es el precio y el eje de ordenadas "y" la demanda, tenemos que pasa por los puntos (1, 20000) y (1.5, 15000)

m = (15000 - 20000)/(1.5 - 1) = -5000/0.5 = -10.000

y - 20000 = -10000*(x - 1)

y = -10000x + 10000 + 20000

y = - 10000x + 30000

2. Función de ingresos:

La función de ingresos: se define como la función que representa la cantidad de dinero que entra a una empresa o a alguna actividad comercial y dinero que cuesta cada unidad de producción por la cantidad de unidades producidas, en este caso: el precio "x" por la cantidad de ejemplares "y"

I(x) = x*(- 10000x + 30000)

I(x) = - 10000x² + 30000x

3. Calculo de la función de costo:

Tenemos que el costo de producir un producto es de $0.8$ por la cantidad "y" de ejemplares y $10000 fijos entonces el costo de producir "y" ejemplares a un precio "x" es:

C(x) = $0.80*y + $10000

C(x) = $0.80*(- 10000x + 30000) + $10000

C(x) = - $8000*x + $24000 + $10000

C(x) = - $8000*x + $34000

4. Calculo de la utilidad marginal:

La utilidad: es la diferencia de lo obtenido por vender un producto menos los gastos que genero dicho producto entonces, es la diferencia entre los ingresos I(x) y los costos C(x), si es negativa significa que se generan perdidas, si es positiva se generan ganancias

U(x) = x*y - C(x)

U(x) = - 10000x² + 30000x -( - $8000*x + $34000

U(x) = - 10000x² + 30000x + $8000x - $34000

U(x) = - 10000x² + 38000x - $34000

La utilidad marginal: se define como la derivada de la utilidad

U'(x) = - 20000x + $38000

5. Precio que hace la utilidad marginal igual a cero:

Para esto igualamos la ecuación de la utilidad marginal a cero, de manera que nos quedara un sistema de ecuaciones de una sola variable, de aqui despejando la variable obtenemos una solución, veamos entonces:

U'(x) = 0

⇒ - 20000x + $38000 = 0

Despejando:

⇒ 20000x = $38000

x =$ 38000/20000 = $1.9

En $1.9 la utilidad marginal es 0,