Question

Dado una esfera de radio R calcule en función de R el radio r y la altura H del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera

Answer 1

Respuesta: 

Para resolver este ejercicio planteamos primero el volumen de un cono: 

                                                    V = 1/3·π·r²·h       (1)

Observando la figura adjunta, en el triangulo rectángulo que se forma si aplicamos pitágoras nos queda que: 

                                                    r² = R² - (h-R)²

                                                     r² = 2hR -h²           (2) 

Sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1), entonces:

                                                  V = 1/3·π·(2hR-h²)·h

                                                 V = 1/3·π· (2h²R-h³)      (3)

Derivamos la ecuación (3) respecto al la altura e igualamos a cero. 

                                                    dV/dh = 1/3·π·(4hR-3h²)

                                                       1/3·π·h·(4R-3h) = 0

Se nos presenta dos alternativas

1- h = 0
2- 1/3·π·(4R-3h) = 0 ----------> h = 4/3·R     (4)

Ahora en radio de la base del cono será: 

                                                           r² = R² - (h-R)²

Sabemos que h = 4/3·R 

                                                       r² = R² - (4/3·R-R)²      (5)

Entonces finalmente el volumen será la sustitución  de 4 y 5 en 1:

                                        V = 1/3·π·(R² - (4/3·R-R)²)·4/3R

Simplificando queda: 

                                                    V = (32·π/81)·R³