Question

Un poste de se aparta 10°15'de vertical hacia la región donde está el sol y proyecta una sombra de 40,75 ft de longitud el ángulo de elevación del sol es de 40°35' encontrar la longitud del poste

Answer 1

La altura del poste es de aproximadamente 30,71 feet

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un imaginario triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura del poste inclinado, el lado AB (c) que equivale a la longitud que proyecta la sombra del poste sobre la línea del suelo  y el lado BC (a) que es la proyección del ángulo de elevación al sol.      

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo α  - Para conocer la inclinación del poste

Sucede que el poste al alejarse de la dirección del sol se inclina 10°15' en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo.

Vamos a calcular la inclinación del poste

Si el poste no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo

Para sumar o restar ángulos se encolumnan los grados, los minutos y los segundos

Donde en este ejercicio se restará

90° 00’

-10°  15’

Donde como no es posible restar los minutos, convertimos un grado del minuendo en 60 minutos

89° 60’

-10° 15’

_______

 79° 45’    

O lo que es lo mismo

$\boxed {\bold { \alpha = 90\° - \ 10\°15' = 79\°45'}}$

En donde convertiremos los grados y minutos a grados decimales para resolver el ejercicio

Si

$\boxed {\bold { \alpha = 79\°45'}}$

Dejamos los 79° como están, y tomamos los 45' para convertirlos a decimal

Sabiendo que si  

$\boxed{ \bold{ 1 \ minuto = \frac{1}{60} \ grados}}$

Multiplicamos

$\boxed{ \bold{ 45 \ . \ \frac{1}{60} = \frac{45}{60} }}$

Donde dividimos el numerador entre el denominador

$\boxed{ \bold{ \frac{45}{60} = 0,75 }}$

Agregamos el decimal a los 79° Siendo α en grados decimales

$\boxed {\bold { \alpha = 79,75\° }}$

El ángulo de elevación dado por enunciado también está expresado en grados y minutos, lo convertiremos a grados decimales

Lo denotaremos como β

Si

$\boxed {\bold { \beta = 40\°35'}}$

Dejamos los 40° como están, y tomamos los 35' para convertirlos a decimal

Siguiendo el mismo procedimiento:

$\boxed{ \bold{ 39 \ . \ \frac{1}{60} = \frac{35}{60} }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{35}{60} = 0,58 }}$

Agregamos el decimal a los 40° Siendo β en grados decimales

$\boxed {\bold { \beta = 40,58\° }}$

Hallando el valor del ángulo γ    

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo, y hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180\° = 79,75\°+ 40,58\° + \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180\° - 79,75\°- 40,58\° }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 59,67\° }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculando la altura del poste

Hallando el valor del lado b

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(40,58\° ) } = \frac{ 40,75 \ ft}{sen(59,67\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 40,75 \ ft \ . \ sen(40,58\° ) }{sen(59,67\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 40,75 \ ft \ . \ 0,6505091419392 }{0,8631312622203 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 26,508247534023 \ ft }{0,8631312622203 } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 30,71172 \ ft } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 30,71 \ ft } }}$

La altura del poste es de ≅ 30,71 ft

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas