ayúdenme como sacar la derivada de estas funciones trigonométricas
f (x)= arc cos 3x²
f(x)=arc tan 3x
y=x² arc tan x
Respuestas
Respuesta dada por:
3
Solución:
1.-
![\textup{Recordemos algunas derivadas}\\\textup{de funciones trigonom\'etricas inversas}\\\frac{d}{dx}\cos^{-1}(u)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{dx}\\\frac{d}{dx}\tan^{-1}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{du}{dx}\\f(x)=\arccos(3x^{2})=\cos^{-1}(3x^{2})\\u=3x^{2}\\\textup{Por lo tanto}\\f'(x)=-\left(\frac{1}{\sqrt{1-(3x^{2})^{2}}}\right)(6x)\\f'(x)=-\frac{6x}{\sqrt{1-9x^{4}}} \textup{Recordemos algunas derivadas}\\\textup{de funciones trigonom\'etricas inversas}\\\frac{d}{dx}\cos^{-1}(u)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{dx}\\\frac{d}{dx}\tan^{-1}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{du}{dx}\\f(x)=\arccos(3x^{2})=\cos^{-1}(3x^{2})\\u=3x^{2}\\\textup{Por lo tanto}\\f'(x)=-\left(\frac{1}{\sqrt{1-(3x^{2})^{2}}}\right)(6x)\\f'(x)=-\frac{6x}{\sqrt{1-9x^{4}}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextup%7BRecordemos+algunas+derivadas%7D%5C%5C%5Ctextup%7Bde+funciones+trigonom%5C%27etricas+inversas%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Ccos%5E%7B-1%7D%28u%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-u%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Ctan%5E%7B-1%7D%28u%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bu%5E%7B2%7D%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%5C%5Cf%28x%29%3D%5Carccos%283x%5E%7B2%7D%29%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D%283x%5E%7B2%7D%29%5C%5Cu%3D3x%5E%7B2%7D%5C%5C%5Ctextup%7BPor+lo+tanto%7D%5C%5Cf%27%28x%29%3D-%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%283x%5E%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cright%29%286x%29%5C%5Cf%27%28x%29%3D-%5Cfrac%7B6x%7D%7B%5Csqrt%7B1-9x%5E%7B4%7D%7D%7D)
2.-
![f(x)=\arctan(3x)=\tan^{-1}(3x)\\u=3x\\f'(x)=(\frac{1}{1+(3x)^{2}})(3)\\f'(x)=\frac{3}{1+9x^{2}}=\frac{3}{9x^{2}+1} f(x)=\arctan(3x)=\tan^{-1}(3x)\\u=3x\\f'(x)=(\frac{1}{1+(3x)^{2}})(3)\\f'(x)=\frac{3}{1+9x^{2}}=\frac{3}{9x^{2}+1}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Carctan%283x%29%3D%5Ctan%5E%7B-1%7D%283x%29%5C%5Cu%3D3x%5C%5Cf%27%28x%29%3D%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%283x%29%5E%7B2%7D%7D%29%283%29%5C%5Cf%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B1%2B9x%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B9x%5E%7B2%7D%2B1%7D)
3.-
![y=x^{2}\arctan(x)=x^{2}\tan^{-1}(x)\\\textup{Recordando que la derivada}\\\textup{de un producto es:d(uv)=udv+vdu}\\\textup{se tiene:}\\u=x^{2}\\v=\tan^{-1}(x)\\y'=x^{2}(\frac{1}{1+(x)^{2}})(1)+\tan^{-1}(x)(2x)\\\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+2x\tan^{-1}(x) y=x^{2}\arctan(x)=x^{2}\tan^{-1}(x)\\\textup{Recordando que la derivada}\\\textup{de un producto es:d(uv)=udv+vdu}\\\textup{se tiene:}\\u=x^{2}\\v=\tan^{-1}(x)\\y'=x^{2}(\frac{1}{1+(x)^{2}})(1)+\tan^{-1}(x)(2x)\\\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+2x\tan^{-1}(x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%5E%7B2%7D%5Carctan%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D%5Ctan%5E%7B-1%7D%28x%29%5C%5C%5Ctextup%7BRecordando+que+la+derivada%7D%5C%5C%5Ctextup%7Bde+un+producto+es%3Ad%28uv%29%3Dudv%2Bvdu%7D%5C%5C%5Ctextup%7Bse+tiene%3A%7D%5C%5Cu%3Dx%5E%7B2%7D%5C%5Cv%3D%5Ctan%5E%7B-1%7D%28x%29%5C%5Cy%27%3Dx%5E%7B2%7D%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%28x%29%5E%7B2%7D%7D%29%281%29%2B%5Ctan%5E%7B-1%7D%28x%29%282x%29%5C%5C%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D%2B2x%5Ctan%5E%7B-1%7D%28x%29)
Saludos.
1.-
2.-
3.-
Saludos.
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