Question

ayúdenme como sacar la derivada de estas funciones trigonométricas
f (x)= arc cos 3x²
f(x)=arc tan 3x
y=x² arc tan x

Answer 1

Solución:
1.-
$\textup{Recordemos algunas derivadas}\\\textup{de funciones trigonom\'etricas inversas}\\\frac{d}{dx}\cos^{-1}(u)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{dx}\\\frac{d}{dx}\tan^{-1}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{du}{dx}\\f(x)=\arccos(3x^{2})=\cos^{-1}(3x^{2})\\u=3x^{2}\\\textup{Por lo tanto}\\f'(x)=-\left(\frac{1}{\sqrt{1-(3x^{2})^{2}}}\right)(6x)\\f'(x)=-\frac{6x}{\sqrt{1-9x^{4}}}$

2.-
$f(x)=\arctan(3x)=\tan^{-1}(3x)\\u=3x\\f'(x)=(\frac{1}{1+(3x)^{2}})(3)\\f'(x)=\frac{3}{1+9x^{2}}=\frac{3}{9x^{2}+1}$

3.-
$y=x^{2}\arctan(x)=x^{2}\tan^{-1}(x)\\\textup{Recordando que la derivada}\\\textup{de un producto es:d(uv)=udv+vdu}\\\textup{se tiene:}\\u=x^{2}\\v=\tan^{-1}(x)\\y'=x^{2}(\frac{1}{1+(x)^{2}})(1)+\tan^{-1}(x)(2x)\\\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+2x\tan^{-1}(x)$
Saludos.