Question

Resuelva la Ecuacion Diferencial. Especifique que tipo de solución es (solución implícita o explícita)

y(1+2xy)dx+x(1-xy)dy
ayuda por favor

Answer 1

$y(1+2xy)~dx+x(1-xy)~dy = 0\\ \\ \text{Sea }z=xy\to y=\dfrac{z}{x}\to dy=\dfrac{xdz-zdx}{x^2}\\ \\ \text{Reemplazamos en la EDO}\\ \\ \dfrac{z}{x}(1+2z)dx+x(1-z)\left(\dfrac{xdz-zdx}{x^2}\right)=0\\ \\ z(1+2z)dx+(1-z)(xdz-zdx)=0\\ \\ 3z^2dx+x(1-z)dz=0\\ \\ 3z^2dx=x(z-1)dz\\ \\ \dfrac{3}{x}dx=\dfrac{z-1}{z^2}dz\\ \\ \\ 3\ln |x|=\ln|z|+\dfrac{1}{z}+C\\ \\ \\ \text{devolviendo ...}\\ \\ 3\ln |x|=\ln|xy|+\dfrac{1}{xy}+C\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\ln\left|\dfrac{x^2}{y}\right|=\dfrac{1}{xy}+C}}$