Question

Un supermercado vende al año 3.200 kilogramos de frijol y desea programar los pedidos que hará en el año a una entidad mayorista de manera que se minimice los costos totales. Para ello, debe tener en cuenta que el kilo de frijol tiene un costo de 2.800 pesos y que por cada pedido que realice debe pagar 15.000 pesos por costos de transporte. Adicionalmente, debe pagar un costo de almacenamiento de 250 pesos por cada kilo, el cual cubre los costos de seguro y espacio ocupado por el producto no vendido. El dueño del supermercado tiene presente que hacer varios pedidos en el año disminuirá los costos de almacenamientos pero incrementa el costo de envío. ACTIVIDAD: Teniendo en cuenta el contexto dado: 1. Plantear una expresión matemática que muestre una relación, que sea función, entre:
• El número de kilos de frijol por cada pedido y el número total de pedidos realizados al año.

• El número de kilos por pedido y el valor total a pagar en el año por costos de envío, teniendo en cuenta las condiciones dadas (esta relación corresponde al costo total anual por envío).

• El número de kilos de frijol almacenado y el valor total anual por almacenamiento, teniendo en cuenta que entre uno y otro pedido, el promedio de frijol almacenado es de un tercio de la cantidad de kilos por pedido (esta relación corresponde al costo total anual por almacenamiento).

• El número de kilos de frijol por pedido y el costo total anual para surtir los 3.200 kilos de frijol (esta relación corresponde al costo total anual).

Answer 1

Costo= Almacenamiento + Transporte +Compra

Almacenamiento = 3200/K*250 = 80 000/K 
Transporte = K*15 000
Compra=  3200 * 2800 = 8 960 000 

Costo = 80 000/K + 15000K+8 960 000
Costo = (80 000 + 15 000K² + 8 960 000K) /K

Para calcular el máximo o minimo de la función vamos a calcular la primera derivada: 

Costo' = K(30 000K+8 960 000)-(80 0000+15 000K²+8 960 000K) /K²
Costo'= 15 000K²- 80 000 /K ²

Ahora buscaremos donde la primera derivada se hace cero: 

15 000K²-80 000 =0 
K=2.30. 

Ahora vamos a calcular la segunda derivada:

Costo'= 15 000K²- 80 000 /K² 
Costo'' = K²(30 000K) - 2K(15 000K² - 80 000)/K⁴
Costo''= 160 000K/K⁴
Costo''= 160 000/K³ --> Evaluando en k= 2.30
Costo'' = 69282.03 > que cero por lo que tenemos un mínimo relativo.

Entonces para mínimos gastos, vamos a hacer 2 pedidos de 1600 kg de arroz cada uno.