Asignatura: Matemáticas
Autor: EulerSegovia
hace 8 años

Si la ecuación cuadrática x^2+ (2k+5)x+k=0 hallar el valor de k sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades... Por favor es urgente alguién que pueda resolverlo mi watssap es +51 930657214

Respuestas

Respuesta dada por: aprendiz777

Solución.
$\textup{Como una de las ra\'ices excede}\\\textup{a la otra en tres.unidades,entonces dicha ra\'iz es:}\\k+3\\\textup{Luego sustituyendo dicha ra\'iz en la ecuaci\'on dada,se obtiene:}\\x^{2}+(2k+5)x+k=0\\(k+3)^{2}+(2k+5)(k+3)+k=0\\\textup{desarrollando se tiene:}\\k^{2}+6k+9+2k^{2}+11k+15+k=0\\\textup{Simplificando nos queda:}\\k^{2}+2k^{2}+6k+11k+k+9+15=0\3k^{2}+18k+24=0\\\textup{Dividiendo entre tres se tiene:}\\k^{2}+6k+8=0\textup{Resolviendo nos queda:}\\(k+2)(k+4)=0\\k_{1}=-2\\k_{2}=-4$
Saludos.

aprendiz777: Hecho, aguanta

EulerSegovia: ok

aprendiz777: La ecuación es x^2+(2k+5)x+k=0,donde A=1,B=2k+5,C=k y siendo x1,x2 raíces de la ecuación se cumple que: x1+x2=-B/A,x1x2=C/A.Por lo tanto por condiciones del problema se tiene que:x1=x2+3.Así

aprendiz777: X1+X2=(2k+5)/(1)=2k+5.Luego como X1=X2+3,entonces X1+X2=(x2+3)+x2=2X2+3 y comoX1+X2=2k+5->2X2+3=2k+5->X2=2k+5-3->2X2=2k+2->X2=(2k+2)/(2)=k+1

aprendiz777: Luego también se cumple para el producto de las raíces de una ecuación cuadrática y se tiene nwue:

aprendiz777: X1.X2=k/1=k,pero recordando que X1=X2+3 y X2=k+1,entonces X1.X2=(X2+3)X2=X2^{2}+3X2

aprendiz777: como X1

aprendiz777: Como X1X2=k,entonces X2^{2}+3X2=k y como X2=k+1,se tiene que:(k+1)^{2}!+3(k+1)=k->k^{2}+2k+1+3k+3=k->k^{2}+2k+3k-k+1+3=0->k^{2}+4k+4=0->(k+2)(k+2)=0.

aprendiz777: Por lo tanto el valor buscado de k.es 2

aprendiz777: Ahí esta compañero EulerSegovia no tan elegante pei ahora si esta bien.Saludos.

Respuesta dada por: mafernanda1008

El polinomio debe ser x²+ x - 2 con k = 2

La resolvente es una ecuación general que permite encontrar raíces de polinomios de segundo grado y es:

Sea el polinomio ax² + bx + c = entonces las raíces son:

x1,2 = (-b ± √(b²- 4ac))/2a

Tenemos el polinomio:

x² + (2k +5)*x + k = 0

Entonces: a = 1, b= 2k + 5, c = k

Las raíces son:

x1,2 = (-(2x + 5) ± √((2k + 5)²- 4*1*k))/2

Como lo que esta dentro de la raíz es positivo: la raíz mayor es la que tiene el signo mas y la menor la que tiene el signo menos, la mayor es 3 unidades menos que la menor:

(-(2k + 5) + √((2k + 5)²- 4k))/2 = (-(2k + 5) - √((2k + 5)²- 4k))/2 + 3

⇒ (-(2k + 5) + √((2k + 5)²- 4k))/2 = (-(2k + 5) - √((2k + 5)²- 4k) + 6)/2

⇒ -(2k + 5) + √((2k + 5)²- 4k) = -(2k + 5) - √((2k + 5)²- 4k) + 6

⇒ √((2k + 5)²- 4k) = - √((2k + 5)²- 4k) + 6

⇒ 2*√((2k + 5)²- 4k) = 6

⇒ √((2k + 5)²- 4k) = 6/2 = 3

Elevamos ambos lados al cuadrado:

(2k + 5)²- 4k = 9

4k² + 20k + 25 - 4k = 9

4k² + 16k + 25 - 9 = 0

4k² + 16k + 16 = 0

Volvemos a usar resolvente: a= 4, b = 16 y c = 16