Question

Si la ecuación cuadrática x^2+ (2k+5)x+k=0 hallar el valor de k sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades... Por favor es urgente alguién que pueda resolverlo mi watssap es +51 930657214

Answer 1

Solución.
$\textup{Como una de las ra\'ices excede}\\\textup{a la otra en tres.unidades,entonces dicha ra\'iz es:}\\k+3\\\textup{Luego sustituyendo dicha ra\'iz en la ecuaci\'on dada,se obtiene:}\\x^{2}+(2k+5)x+k=0\\(k+3)^{2}+(2k+5)(k+3)+k=0\\\textup{desarrollando se tiene:}\\k^{2}+6k+9+2k^{2}+11k+15+k=0\\\textup{Simplificando nos queda:}\\k^{2}+2k^{2}+6k+11k+k+9+15=0\3k^{2}+18k+24=0\\\textup{Dividiendo entre tres se tiene:}\\k^{2}+6k+8=0\textup{Resolviendo nos queda:}\\(k+2)(k+4)=0\\k_{1}=-2\\k_{2}=-4$
Saludos.

Answer 2

El polinomio debe ser x²+ x - 2 con k = 2

La resolvente es una ecuación general que permite encontrar raíces de polinomios de segundo grado y es:

Sea el polinomio ax² + bx + c = entonces las raíces son:

x1,2 = (-b ± √(b²- 4ac))/2a

Tenemos el polinomio:

x² + (2k +5)*x + k = 0

Entonces: a = 1, b= 2k + 5, c = k

Las raíces son:

x1,2 = (-(2x + 5) ± √((2k + 5)²- 4*1*k))/2

Como lo que esta dentro de la raíz es positivo: la raíz mayor es la que tiene el signo mas y la menor la que tiene el signo menos, la mayor es 3 unidades menos que la menor:

(-(2k + 5) + √((2k + 5)²- 4k))/2  = (-(2k + 5) - √((2k + 5)²- 4k))/2  + 3

⇒ (-(2k + 5) + √((2k + 5)²- 4k))/2  = (-(2k + 5) - √((2k + 5)²- 4k) + 6)/2

⇒ -(2k + 5) + √((2k + 5)²- 4k)  = -(2k + 5) - √((2k + 5)²- 4k) + 6

⇒ √((2k + 5)²- 4k)  = - √((2k + 5)²- 4k) + 6

⇒ 2*√((2k + 5)²- 4k)  = 6

⇒ √((2k + 5)²- 4k)  = 6/2 = 3

Elevamos ambos lados al cuadrado:

(2k + 5)²- 4k = 9

4k² + 20k + 25 - 4k = 9

4k² + 16k + 25 - 9 = 0

4k² + 16k + 16 = 0

Volvemos a usar resolvente: a= 4, b = 16 y c = 16

k1,2 = (-16± √(16²- 4*4*16))/8

k1,2 = (-16± √(256- 4*4*16))/8

k1,2 = (-16± √(256- 256))/8

k1,2 = (-16± √0))/8

k1,2 = (-16± 0))/8

Tenemos una sola raíz de multiplicidad 2:

k = -16/8 = -2

El valor de k es igual a -2

El polinomio sera:

x² + (2*-2 + 5)x - 2)

= x²+ x - 2

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