Question

Una niña se desliza sin fricción desde una altura h a lo largo de un tobogán como se muestra en la figura.
La niña es lanzada hacia la piscina desde una altura h/5. Calcule la máxima altura alcanzada por la niña en términos de h y α (angulo alfa).

la respuesta al ejercicio al parecer es esta

y$Ymax = \frac{h}{5} (4sen^{2}\alpha+1)$

agradezco sus respuestas.

Answer 1

Primero hacemos con energía:

Como tobogan esta sin fricción y en la niña solo actúa la fuerza del peso:
Podemos afirmar que :

∑Wfnc = 0  ( sumatoria de los trabajos de fuerzas no conservativas es cero)
, por lo tanto LA ENERGÍA MECÁNICA SE CONSERVA.

Con nivel de referencia en en el punto mas bajo del tobogan tenemos:

ΔE = 0

Sea A el punto donde inicia el tobogan y B el punto donde termina el tobogan:

ΔE ᵃ⇒ᵇ= 0

Kf + Uf  = Ki + Ui              f: final  i: inicial   K: energia cinetica  U : E.potencial

1/2 m v₂ + mg(h/5) =  0 + mgh

Despejando nos quedaría la velocidad en la parte final del toboganv

v² = 8gh/5

Finalmente haciendo la ley de movimiento, con sistema de referencia en el final del tobogan (en el piso) de la niña : 

r(t) = (Vcosαt ; Vsenαt -gt²/2) m, t en s

El tiempo donde alcanza la altura máxima su velocidad en el eje Y es cero, entonces derivando respecto al tiempo obtenemos la velocidad :

v(t) = ( Vcosα ; Vsenα - gt) m/s, t en s 

v(t) = 0 

vsenα = gt
t = vsenα/g

Reemplazando en la ley de movimiento,en tiempo en el Eje Y:

Y(t) = h/5 + Vsenαt-gt²/2 m, t en s 

y(vsenα/g= h/5 + vsenα(vsenα/g) - g/2*v²sen²α/g²
y(vsenα/g) = h/5 + 8gh/5*sen²α/2g

Factorizando 

Ymax =  h/5 ( 4sen²α + 1)