Question

1.-Determinar por extensión: M = {x ∈ Z / x3– 17x2+ 71x – 55 = 0 }

Answer 1

1.-Determinar por extensión: M = {x ∈ Z / x3– 17x2+ 71x – 55 = 0 }
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Definir por extensión es indicar los elementos que satisfacen la ecuación, entonces, en este caso debemos hallar el valor de x.

Es una ecuación cúbica porque está elevada a la tres. 

$M= \{x \in Z /x^3 - 17x^2 +71x -55= 0 \} \\ \\ \\ x^3 - 17x^2 +71x -55= 0 \\ \\ Lo \ solucionamos \ por \ el \ teorema \ del \ Resto \\ \\ 1) \ analizamos \ el \ termino \ independiente (sus \ divisores) \\ \\ 55= 5.11 \\ \\ 2) los \ valores \ pueden \ ser : +1; -1 ; +5; -5 ; +11; -11. \\ \\ 3) Remplazamos \ en \ la \ variable \ hasta \ que \ el \ resto \ sea \ cero$

$x_1= +1 \to (+1)^3 - 17(+1)^2 +71(1) -55= 1-17+71-55= 0 \\ \\ x_1= +1 \to \ es \ Raiz \\ ................................................................................... \\ \\ x_2=-1\to (-1)^3 - 17(-1)^2 +71(-1) -55 \\ .\qquad \quad = -1-17-71-55= -144 \qquad x_2= No \ es \ Raiz \\ \\ ........................................................................ \\ \\ x_3= +5\to (5)^3 - 17(5)^2 +71(5) -55= 125-425+355-55 \\ .\qquad \quad \to -300+355-55 = 0\qquad x_3= +5\to es \ Raiz$

$x_4= -5 \to (-5)^3 - 17(-5)^2 +71(-5) -55= \\ .\qquad \quad \to -125- 425-355-55= -960\to x_4= No \ es \ Raiz \\ \\ .......................................................... \\ \\ x_5= +11\to (+11)^3 - 17(+11)^2 +71(+11) -55= \\ \\ .\qquad \quad \to 1331 - 2057+781 -55 =0 \to x_5= +11\to es \ Raiz$

$Es \ una \ ecuaci\'on \ c\'ubica\ entonces \ tiene \ tres \ ra\'ices$
 
$x^3 - 17x^2 +71x -55= 0 \qquad x_1= 1\quad x_3= 5\quad x_5= 11 \\ \\ \\ x^3 - 17x^2 +71x -55= (x-1)(x-5)(x-11) \\ \\ \\ \boxed{ x\in Z\quad\to Extensi\'on = \{ 1; 5: 11\}}$

Espero que te sirva, salu2!!!!