Question

Utilizando derivadas grafica F(x)= x3
-6x2
-15x + 40, determinando:
1. Dominio
2. Primera derivada f´
3. Segunda derivada f´´
4. Puntos críticos de la función
5. Dónde la función es creciente y dónde es decreciente.
6. Punto de inflexión
7. Concavidades
8. Valores de las ordenadas
9. Los cortes o intersecciones con el eje x y el eje y
10. Una explicación de la gráfica obtenida


Ojala me puedan ayudar se los agradeceria

Answer 1

Respuesta: 

Dada la función: 

                                                      F(x) = x³ - 6x²

1- Dominio son todos los reales por ser un polinomio. Df = {R}

2- Derivada primera. 

                                                      f '(x) = 3x² - 12x 

3- Segunda derivada 

                                                         f''(x) = 6x - 12

4- Puntos criticos. f'(x) = 0. 

                                                                 3x² - 6x = 0 
                                                                  x(3x-12) = 0

                                                                x₁ = 0 y x₂= 4

5- Creciente y decreciente, estudiamos la primera derivada. 

Tenemos los intervalos (-∞,0] U (0,4) U [4,+∞)

Seleccionamos un valor dentro los intervalos y evaluamos: 

f'(-2)= 3(-2)²-6(-2) = 24 >0  creciente 
f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0 decreciente
f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9> 0 creciente 

La función es creciente, decreciente, creciente correspondiente a los intervalos definidos. 

6- Puntos de inflexión. f''(x) = 0. 

                                                                    6x - 12 = 0
                                                                        x = 2

7- Concavidades. 

Concava hacia arriba desde (-∞,4]
Concava hacia abajo desde [4+∞)

8- Cortes con los ejes. 

                                                          x³ - 6x² = 0 

                                                  x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 6

10- La gráfica obtenida posee un máximo y un mínimo por tanto una concavidad y una convexidad, su dominio son todos los reales. Se puede observar en la figura adjunta.