Respuestas
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.
Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que {\displaystyle F_{x}=-kx\,} donde {\displaystyle k\,} es una constante positiva y {\displaystyle x\,} es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial:
(1){\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx}
Siendo {\displaystyle m\,} la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo {\displaystyle \scriptstyle \omega ^{2}=k/m} se obtiene la siguiente ecuación donde {\displaystyle \omega } es la frecuencia angular del movimiento:
(2){\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a(t)=-\omega ^{2}x}
La solución de la ecuación diferencial. (2) puede escribirse en la forma
(3){\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\phi )\,}
donde:
{\displaystyle x\,} es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.{\displaystyle A\,} es la amplitud del movimiento (elongación máxima).{\displaystyle \omega \,} es la frecuencia angular{\displaystyle t\,} es el tiempo.{\displaystyle \phi \,} es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:
(4){\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}, y por lo tanto el periodo como {\displaystyle T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión {\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\phi )\,}.
Velocidad[editar]La oscilación instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:
(5){\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}=-\omega A\operatorname {sen}(\omega t+\phi )}
Aceleración Máxima[editar]La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:
(6){\displaystyle a(t)={\frac {dv(t)}{dt}}=-\omega ^{2}A\,\cos(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}x(t)\,}
Amplitud y fase iniciales[editar]La amplitud {\displaystyle A} y la fase inicial {\displaystyle \phi \,} se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación {\displaystyle x_{0}} y de la velocidad {\displaystyle v_{0}} iniciales.
(7){\displaystyle x_{0}=A\cos \phi \qquad \Rightarrow \qquad x_{0}^{2}=A^{2}\cos ^{2}\phi }
(8){\displaystyle v_{0}=-\omega A\sin \phi \qquad \Rightarrow \qquad v_{0}^{2}=\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}\phi \qquad \Rightarrow \qquad {\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}\sin ^{2}\phi }
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(9){\displaystyle x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}=A^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=A^{2}\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(10){\displaystyle {\frac {v_{0}}{x_{0}}}={\frac {-\omega A\sin \phi }{A\cos \phi }}=\omega \tan \phi \qquad \Rightarrow \qquad \phi =\arctan \left({\frac {-v_{0}}{\omega x_{0}}}\right)}