Respuestas
Dado un polinomio {\displaystyle P} en una cierta variable {\displaystyle x}, su grado es el máximo de los exponentes de {\displaystyle x} en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como {\displaystyle \mathrm {gr} [P(x)]}, y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión. Ejemplo:
{\displaystyle P(x)=x^{5}+4x^{3}-x^{7}+x+6x^{2}-5\quad \Rightarrow \quad \mathrm {gr} (P)=7\quad [=\mathrm {gr} (-x^{7})]}
"La misma definición se aplica en este caso pero solo cumpliendo las siguientes condiciones: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.
Ejemplo: {\displaystyle Q(x,y,z)=2x^{2}yz+4x^{3}y^{2}-z+7x+6y^{2}z^{4}-5\quad \Rightarrow \quad \mathrm {gr} (Q)=6\quad [=\mathrm {gr} (6y^{2}z^{4})]}
Las definiciones anteriores no se aplican directamente a polinomios en los que no aparecen explícitamente la variable. Si un polinomio es simplemente una constante numérica su grado se define como 0 (o {\displaystyle \scriptstyle -\infty } para el polinomio nulo):
{\displaystyle P(x)=a_{0}\in \mathbb {R} \Rightarrow \qquad {\begin{cases}a_{0}=0&{\mbox{gr}}(P)=-\infty \\a\neq 0&{\mbox{gr}}(P)=0\end{cases}}}
Esta última definición se hace así para mantener la coherencia en las siguientes propiedades del grado:
{\displaystyle {\mbox{gr}}(P\cdot Q)={\mbox{gr}}(P)+{\mbox{gr}}(Q),\qquad {\mbox{gr}}(P\pm Q)\leq \max({\mbox{gr}}(P),{\mbox{gr}}(Q))}