Question

Dos lados adyacentes de un paralelogramo miden 34 y 48 cm respectivamente, y el ángulo comprendido entre ellos mide 72°. Encuentra la longitud de la diagonal mayor

Answer 1

Primero deduciré qué clase de paralelogramo es y para ello se tiene en cuenta si los lados son TODOS iguales o sólo los enfrentados. En este caso está claro que al darnos dos lados adyacente desiguales ya hay que descartar el cuadrado y el rombo (que tienen los 4 lados iguales)

Y como nos da un ángulo distinto de 90º, también descartamos el rectángulo quedándonos solo con el paralelogramo restante que es por fuerza el romboide.

En un romboide tenemos dos diagonales de medida distinta entre ellas ya que está la que une los vértices de los ángulos agudos, que es la más larga, y luego está la que une los vértices de los ángulos obtusos, más corta.

Nos pide la diagonal mayor, es decir, la que une ángulos agudos. Para resolver eso hay que trazarla y darse cuenta del triángulo escaleno que se forma entre los dos lados adyacentes (que conocemos) y esa diagonal, la cual es el lado opuesto al ángulo obtuso.

Por tanto procede saber primero la medida de ese ángulo obtuso, algo sencillo teniendo la medida del agudo ya que, al ser iguales dos a dos (los enfrentados) y sabiendo que en cualquier cuadrilátero, la suma de sus 4 ángulos siempre es de 360º, mediante está fórmula calcularé la medida de uno de los obtusos.

$\dfrac{360 - (72*2)}{2} =108\º$

Tenemos los datos para aplicar la ley del coseno donde necesitamos saber dos lados y el ángulo comprendido, datos que ya sabemos.

Llamando "a" al lado del triángulo que es la diagonal que nos piden y por tanto llamando A al ángulo opuesto a él que es el que acabamos de calcular de 108º, los otros lados serán "b" y "c" y se aplica la fórmula citada pero antes se mira con calculadora el valor del coseno de 108º y me dice que es de  -0,31  (aproximando en las centésimas)

$a^2=b^2+c^2-2ab*cos\ A \\ \\ a= \sqrt{b^2+c^2-2ab*cos\ A} = \sqrt{48^2+34^2-2*48*34*(-0,31)} = \\ \\ = \sqrt{4471,84} = 66,87\ cm.\ es\ la\ respuesta.$

Saludos.