Question

Proposiciones y tablas de verdad {[p→(q∨r)]∧(s→∼q)∧(t→∼r)∧(p∧t)}→qde Definición de las proposiciones simples .Lenguaje natural de la expresión formal.  Definir si el argumento es una Tautología, contradicción o contingencia

Answer 1

Hola, espero que estés muy bien.

A continuación hago dos introducciones, la primera esta notación:

1) P ⇒ Q
2) P
-------------------
3) Q

Equivale a esto:

[(P⇒Q)∧P]⇒Q

Y la segunda.

En lógica de primer orden existen reglas de inferencia y equivalencias lógicas son razonamientos que ya han sido demostrados, y que son tautologías, que nos permiten modificar nuestro razonamiento sin alterar la verdad del mismo.

Estas son algunas equivalencias lógicas que te van a servir para demostrar que ese razonamiento propuesto es una tautología.

P ⇒ Q ⇔ ¬P ∨ Q
P ∨ Q ⇔ Q ∨ P

Lo otro que me gustaría comentarte es que aparte de estas equivalencias tenemos reglas de inferencias que son pequeños razonamientos que ya han sido demostrados y se adoptan como herramientas durante la demostración.
En concreto usaremos estos dos.

La simplificación.
P ∧ Q ⇒ P
P ∧ Q ⇒ Q

Modus Ponens
[ ( P ⇒ Q ) ∧ P ] ⇒ Q

Ahora esta es la demostración de que el razonamiento propuesto es una tautología.

demostración:

1) P ⇒ Q ∨ R
2) S ⇒ ¬Q
3) T ⇒ ¬R
4) P ∧ T
5) P "Justificación: simplificación de 4 P ∧ T ⇒ P"
6) T "Justificación: simplificación de 4 P ∧ T ⇒ T"
7) Q ∨ R "Justificación: Modus ponens usando 1 y 5"
8) ¬R "Justificación: Modus ponenes usando 3 y 6"
9) R ∨ Q "Justificación: Equivalencia lógica de 7"
10) ¬R ⇒ Q "Justificación: Equivalencia lógica de 9"
11) Q "Justificación: Modus Ponens usando 8 y 10"
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11) Q

Esto demuestra que los razonamientos que hiciste son válidos para concluir Q.