Question

70. El viento ha ocasionado que un árbol, cuya longitud es de 3m, se incline 10° hacia el oriente desde la vertical. Si el sol, en el occidente, está a 32° arriba de la horizontal, ¿cuál es la longitud de la sombra del árbol?

Answer 1

La longitud de la sombra proyectada por el árbol inclinado es de aproximadamente 5.25 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo acutángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura del árbol inclinado por efecto del viento, el lado AC (b) que equivale a la longitud de la sombra que proyecta el árbol inclinado sobre la línea del suelo y el lado AB (c) que es la proyección visual con un ángulo de elevación al sol de 32°    

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo acutángulo ABC

Denotamos al ángulo de elevación al sol dado por enunciado de 32° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 32^o }}$

Hallamos el valor del ángulo C al cual denotamos como γ  - para conocer la inclinación del árbol-

Donde sabemos que el árbol tiene un ángulo de inclinación hacia el oriente de 10° respecto a la vertical

Sucede que el árbol con tal inclinación se aleja 10° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo

Por tanto:

Si el árbol no se hubiese inclinado -por efecto del viento- formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este ejercicio al inclinarse el árbol en el sentido horario debemos restar la inclinación de 10° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical de 90°

Teniendo

$\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o -\ 10^o = 80^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo B al cual denotamos como β

Dado que la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 32^o+ 80^o + \beta }}$

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 32^o- 80^o }}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 68 ^o }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculamos la longitud de la sombra proyectada por el árbol inclinado

Hallando el valor del lado AC (b)

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 3 \ metros }{ sen(32^o ) } = \frac{ b }{sen(68 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 3 \ metros \ . \ sen(68^o ) }{sen(32^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 3 \ metros \ . \ 0.927183854567 }{0.52991926433 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 2.781551563701 }{0.52991926433 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { b\approx 5.24901 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 5.25 \ metros }}$

La longitud de la sombra que proyecta el árbol inclinado es de aproximadamente 5.25 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas