Question

En que consiste limites y derivadas

Answer 1

Calcular el límite

limx→1(x2+2x−1x2+1)=1limx→1(x2+2x−1x2+1)=1

Límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞. Regla de L'Hôpital

limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)limx→0sin(ax)x=limx→0acos(ax)1=alimx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)limx→0sin(ax)x=limx→0acos(ax)1=a

Otras formas indeterminadas son 0·∞ y ∞-∞ que se transforman en 0/0 o ∞/∞.

Ejemplos:

limx→0(1sin2x−1x2)limx→∞(1+ax)xlimx→0(cos(2x))3/x2

>> sym x a; >> y=(x^2+2*x-1)/(x^2+1); >> limit(y,x,1) ans =1 >> limit(sin(a*x)/x,x,0) % alternativamente, limit(sin(a*x)/x) ans =a >> limit((1+a/x)^x,x,inf) %alternativamente, limit((1+a/x)^x,inf) ans =exp(a) >> y=1/(sin(x)^2)-1/x^2; >> limit(y,x,0) ans =1/3 >> y=cos(2*x)^(3/x^2); >> limit(y,x,0) ans =1/exp(6)

inf representa en MATLAB el infinito, x representa la variable respecto de la cual se calcula el límite. La función limit requiere tres parámetros pero asume valores por defecto, como puede probarse en los comentarios al código.

La derivada de una función f(x) es el límite

f'(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h

La derivada de y=sin(x) es y'=cos(x)

>> syms x h; >> limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) ans =cos(x)

De forma alternativa, podemos calcular las derivadas definiendo la función f(x) como función anónima y aplicando la definición de derivada.

>> syms x h; >> f=@(x) sin(x) >> limit((f(x+h)-f(x))/h,h,0) ans =cos(x)

Definimos la función anónima f(x) con cualquier expresión y podemos calcular su derivada.

Límites por la izquierda y por la derecha

limx→0−x|x|=−1limx→0+x|x|=1limx→0−x|x|=−1 limx→0+x|x|=1

>>syms x; >> limit(x/abs(x),x,0,'left') ans =-1 >> limit(x/abs(x),x,0,'right') ans =1Derivada de una función

La función diff calcula la derivada de una función respecto a una variable x. Por defecto, calcula la derivada primera, pero también puede calcular la derivada segunda, tercera, etc., indicándoselo en su segundo argumento.

>> syms x; >> y=(sin(x))^2; >> yp=diff(y) yp =2*cos(x)*sin(x) >> ypp=diff(yp) ypp =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 >> diff(y,2) ans =2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2

Derivadas parciales (respecto de una variable)

>> syms x y; >> diff(x*sin(x*y),x) ans =sin(x*y) + x*y*cos(x*y) >> diff(x*sin(x*y),y) ans =x^2*cos(x*y)

Comprobar que la función y=Ae−2xcos(3x+b)y=Ae−2xcos(3x+b)  es la solución de la ecuación diferencial que describe las oscilaciones amortiguadas, donde A y b son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales (posición inicial y velocidad inicial).

d2ydx2+4dydx+13y=0d2ydx2+4dydx+13y=0

>> syms x A b; >> y=A*exp(-2*x)*cos(3*x+b); >> diff(y,2)+4*diff(y)+13*y ans =0