Un agricultor tiene 200 pies de tela de alambre con la que planea cercar un patio de forma
rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima ¿cuáles deben ser las dimensiones
de ancho y largo?
Respuestas
Para lograr que el área sea la máxima a cercar con la tela de alambre, entonces debe utilizar toda la tela metálica de 200 pies.
Para un rectángulo la fórmula del área es la siguiente:
A = l x a
Donde:
A: Área.
l: Largo.
a: Ancho.
Por ser rectangular la longitud del largo debe tener mayor longitud que el ancho:
l > a
Sea l = 2a; entonces la fórmula queda:
A = 2a x a = 2a²
Despejando a; se tiene:
a = √A/2
a = √200 pies/2 = √100 pies = 10 pies
a = 10 pies
En consecuencia, el largo (l) tendrá una longitud de:
l = 2a = 2 x 10 pies = 20 pies.
l = 20 pies
En agricultor que tiene 200 pies de tela de alambre, debe formar un rectángulo con las dimensiones de 50 pies de ancho y 50 pies de largo.
Explicación:
Planteamos inicialmente las variables, tal que:
- x: ancho
- y: largo
Ahora, planteamos las condiciones, tal que:
- P = 200 = 2x + 2 y
- A(x,y) = x·y
Entonces, de la primera condición despejamos una variable y sustituimos en la segunda.
100 = x + y
y = 100 - x
Sustituimos y tenemos que:
A = x·(100-x)
A = 100x - x²
Derivamos e igualamos a cero, para buscar la área máxima.
A' = 100 - 2x
100 - 2x = 0
x = 50
La otra variable será:
y = 100 - 50
y = 50
Por tanto, las dimensiones deben ser 50 pies de ancho y 50 pies de largo.
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