Question

Si una fracción con un denominador que contenga alguna raíz, como por ejemplo:

$\frac{1}{ \sqrt{n} + 1}$

se le pide elevarse al cuadrado, ¿se tiene que racionalizar antes de elevar? ¿o se eleva directamente?

Answer 1

¡Buenas!

La respuesta es la siguiente: puedes empezar por cualquier método, matemáticamente se llega al mismo resultado y lo voy a demostrar.

Racionalizando y luego elevar al cuadrado.

$\dfrac{1}{ \sqrt{n} +1} \ \cdot\ \dfrac{ \sqrt{n} -1}{ \sqrt{n} -1} \\ \\ \\ \dfrac{ \sqrt{n}-1 }{( \sqrt{n} +1)( \sqrt{n} -1)} \\ \\ \\ \dfrac{ \sqrt{n} -1 }{n-1}$

$Ahora\ elevar\ al\ cuadrado.$

$(\dfrac{ \sqrt{n} -1 }{n-1})^{2} \\ \\ \\ \dfrac{ (\sqrt{n} -1)^{2} }{(n-1)^2} \\ \\ \\ \dfrac{n+1-2 \sqrt{n} }{n^{2}+1-2n} \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{n+1-2 \sqrt{n} }{n^{2}+1-2n} }$

Ahora elevando al cuadrado y luego racionalizando.

$(\dfrac{1}{ \sqrt{n} +1} )^{2} \\ \\ \\ \dfrac{1}{(\sqrt{n} +1)^{2}}} \\ \\ \\ \dfrac{1}{ n+1+2 \sqrt{n} } \\ \\ \\ Racionalizando \\ \\ \\ \dfrac{1}{n+1+2 \sqrt{n}} \cdot\ \dfrac{(n+1)-(2 \sqrt{n} )}{(n+1)-(2 \sqrt{n} )} \\ \\ \\ \dfrac{n+1-2 \sqrt{n} }{(n+1)^{2}-(2 \sqrt{n})^{2}} \\ \\ \\ \dfrac{n+1-2 \sqrt{n} }{n^{2}+1+2n-4n} \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{n+1-2 \sqrt{n} }{n^{2}+1-2n}}$

Hay métodos donde es mucho más conveniente primero racionalizar, y luego elevar al cuadrado, como en el ejemplo, es mucho más fácil cuando empiezas racionalizando.

Propiedades usadas.

$(a+b)\ \cdot\ (a-b) = a^{2} - b^{2} \\ \\ Demostracion \\ \\ (a+b)\ \cdot\ (a-b) = a^{2} -ba+ba-b^{2}= a^{2} - b^{2}$

Espero haberte ayudado.