Question

Dado a su curva x=t, x=t2, z=2/3t3, hallar la curvatura k y la torsión T de la curva

Answer 1

Veamos.

Sea r(t) = [x(t), y(t), z(t)] el vector posición de un punto de la curva.

Necesitamos la primera, segunda y tercera derivadas de r(t) respecto de t.

r '(t) = (1, 2 t, 2 t^2); r ''(t) = (0, 2, 4 t); r '''(t) = (0, 0, 4)

k = |(r ' x r '')| / |r '|^3, siendo x el símbolo de producto vectorial.

r ' x r '' = (4 t^2, 4 t, 2); |r ' x r ''| = √(16t^4 + 16 t^2 + 4) = 2 (2 t^2 + 1)

|r '|^3 = |√(1 + 4 t^2 + 4 t^4|^3 = (2 t^2 +1)^3

Por lo tanto: k = 2 (2 t^2 + 1) / (2 t^2 + 1)^3 = 2 / (2 t^2 + 1)^2

T = |r ', r '', r ''| / |r ' x r ''|^2 siendo el numerador un producto mixto.

|r ', r '', r '''| = 8

|r ' x r ''|^2 = 4 (2 t^2 + 1)^2

Por lo tanto T = 2 / (2 t^2 + 1)^2

Revisa por si hay errores. 

Saludos Herminio