Question

Alguien me puede ayudar con esta demostración.

Answer 1

$\textbf{Demostraci\'on}(\textit{por inducci\'on}).\\ \\ \text{Para }n=1\text{ la proposici\'on es verdadera}.\\ \text{Supongamos que se cumpla para alg\'un }n=k, \text{ veamos si es v\'alida para}\\ n=k+1\\ \\ (a^{k}-b^{k})(a+b)= a^{k+1}-b^{k+1}+a^kb-ab^k\\ \\ (a^{k}-b^{k})(a+b)= a^{k+1}-b^{k+1}+ab(a^{k-1}-b^{k-1})\\ \\ \left[(a-b)P(a,b)\right](a+b)= a^{k+1}-b^{k+1}+ab[(a-b)Q(a,b)]\\ \\ (a-b)P_1(a,b)= a^{k+1}-b^{k+1}+(a-b)Q_1(a,b)$


$a^{k+1}-b^{k+1}=(a-b)P_1(a,b)-(a-b)Q_1(a,b)\\ \\ a^{k+1}-b^{k+1}=(a-b)[P_1(a,b)-Q_1(a,b)]\\ \\ a^{k+1}-b^{k+1}=(a-b)R(a,b)\\ \\ a-b~|~a^{k+1}-b^{k+1}\\ \\ \hspace*{10cm}\square\square\square$