Question

resolver por criterio de razon o criterio de raiz

Answer 1

Criterio de la razón. Calculemos el siguiente límite

$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to\infty}=\dfrac{\dfrac{1-(n+1)^2}{1+(n+1)^2}}{\dfrac{1-n^2}{1+n^2}}\\ \\ \\ \\ =\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{-n(n+2)(1+n^2)}{(1-n^2)[1+(n+1)^2]}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{-(1+2/n)(1/n^2+1)}{(1/n^2-1)[1/n^2+(1+1/n)^2]}\\ \\ \\ =\dfrac{-(1+0)(0+1)}{(0-1)[0+(1+0)^2]}=1$

Por ende este criterio no dice nada sobre la convergencia de la serie

Criterio de la raíz. No es aplicable ya que la sucesión dentro de la sumatoria no es estrictamente positiva.

Además....
$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1-n^2}{1+n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2}{1+n^2}-1\right)=2\underbrace{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+n^2}}_{converge}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}1$

Answer 2

Respuesta.
En el criterio de razón no hay nada sobre la convergencia de una serie.


Razón.
Para resolver tu problema:

Calculamos el límite.

$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to\infty}=\dfrac{\dfrac{1-(n+1)^2}{1+(n+1)^2}}{\dfrac{1-n^2}{1+n^2}}\\ \\ \\ \\=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{-n(n+2)(1+n^2)}{(1-n^2)[1+(n+1)^2]}\\ \\ \\ \\=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{-(1+2/n)(1/n^2+1)}{(1/n^2-1)[1/n^2+(1+1/n)^2]}\\ \\ \\ \\=\dfrac{-(1+0)(0+1)}{(0-1)[0+(1+0)^2]}=1$

Como ves no dice nada sobre la convergencia de una determinada serie.

Saludos Cordiales.