Respuestas
• Para radicales de la forma: √(A ± 2√B)
Si x+y = A ; x-y = B, (x>y) entonces:
√[ (x+y) ± 2√(x.y) ] = √x ± √y
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ahora con los ejercicios del documento:
• Primera parte:
1) √(5+2√6) = ??
x + y = 5
x.y = 6 → y = 6/x : x + y = 5
x + 6/x = 5
x² + 6 = 5x
x² - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 v x = 3
si x = 2 → y = 5 - 2 = 3
si x = 3 → y = 5 - 3 = 2
Por lo tanto: x = 3 , y = 2 (x>y)
⇒ √(5 + 2√6) = √3 + √2 = √2+√3
2) √(6+2√8)
De forma directa[Tanteo], damos valores para "x" e "y":
x + y = 6
x.y = 8
Dando valores: x = 4 , y = 2 (x>y)
Por lo tanto:
⇒ √(6+2√8) = √2 + √4 = √2 + 2
√(6+2√8) = 2 + √2
3) √(11 - 2√8) = √(11 - 2√(4*2)) = √(11 - 4√2)
Ésta sería su forma más simple. Si trataramos de convertirlo como la suma de otras dos raices, obtendriamos nuevamente raices dentro de otras raices.
Observa:
x + y = 11
x.y = 8 → y = 8/x : x + 8/x = 11
x² + 8 = 11x
x² - 11x + 8 = 0
x = (11 ± √89)/2
Si: x = (11 + √89)/2 → y = (11 - √89)/2 [x>y]
⇒ √(11 - 2√8) = √ [(11 +√89)/2] - √ [(11 - √89)/2]
4) √(7 + 2√10)
x+y = 7
x.y = 10
Dando valores: x = 5 , y = 2 (x>y)
Por lo tanto: √(7+2√10) = √5 + √2 = √2+√5
5) √(9 - 2√20)
x+y = 9
x.y = 20
Dando valores: x = 5 , y = 4 (x>y)
Por lo tanto: √(9-2√20) = √5 - √4 = √5 - 2
6) √(18 - 2√32)
x + y = 18
x.y = 32
Dando valores: x = 16 , y = 2 (x>y)
Por lo tanto: √(18 - 2√32) = √16 - √2 = 4 - √2
7) Calcular: √(12+2√27) + √7 - 2√12
Observacion: * √(12 + 2√27) = √9 + √3 .... (pues 3+9 = 12 , 9*3 = 27)
= 3 + √3
* 2√12 = 2√(4*3) = 4√3
Por lo tanto:
√(12+2√27) + √7 - 2√12 = 3 + √3 +√ 7 - 4√3
= 3 - 3√3 + √7
8) Efectua: Q = √(19 + 2√48)√3
Observacion:
* √(19 + 2√48) = √16 + √3 .... (pues 16+3 = 19 , 16*3 = 48)
= 4 + √3
⇒ Q = √(19 + 2√48)√3 = (4+√3)√3 = 4√3 + (√3)²
Q = 3 + 4√3
9) Transformar: A = √(2x + 2√(x² - x) - √(x-1) )
(Antes de ver la siguiente solucion, VERIFIQUE que ha copiado bien éste ejercicio)
A = √(2x + 2√(x² - x) - √(x-1) )
A = √( [2x- √(x-1) ] + 2√(x² - x) )
X + Y = 2x - √(x-1)
X.Y = 2√(x² - x) → X = 2√(x²-x)/Y
⇒ 2√(x²-x)/Y + Y = 2x - √(x-1)
2√(x² - x) + Y² = (2x-√(x-1))Y
Y² - (2x-√(x-1))Y + 2√(x² - x) = 0
Y = ( 2x-√(x-1) ± √[(2x-√(x-1))² - 4(2√(x² - x))] )/2
Y = 2x-√(x-1) ± √(4x² + 8√(x² - x) - 4√(x-1) + x -1 ))/2
Si Y = ( 2x-√(x-1) ± √(4x² + 8√(x² - x) - 4√(x-1) + x -1 ))/2
X = 2x - √(x-1) ∓ Y
⇒ A = √X + √Y
10) Si: √(7 + 2√10) = √(a-1) + √(b-3) , a > b
Hallar a - b:
Observacion: √(7 + 2√10) = √5 + √2 (ya que: 5+2 = 7 , 5*2 = 10)
⇒ √5 + √2 = √(a-1) + √(b-3)
i) Si: { 5 = a-1 → a = 6
{ 2 = b - 3 → b = 5
Se verifica que a>b ⇒ a - b = 6 - 5 = 1
ii) Si { 5 = b-3 → b = 8
{ 2 = a-1 → a = 3
No se verifica que: a > b , por lo tanto los valores obtenidos son incorrectos, y la respuesta seria lo anterior (en negrita)
Saludos! Jeyson(Jmg)
Transformación de radicales dobles a radicales simples:
• Para radicales de la forma: √(A ± 2√B)
Si x+y = A ; x-y = B, (x>y) entonces:
√[ (x+y) ± 2√(x.y) ] = √x ± √y
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Ahora con los ejercicios del documento:
• Primera parte:
1) √(5+2√6) = ??
x + y = 5
x.y = 6 → y = 6/x : x + y = 5
x + 6/x = 5
x² + 6 = 5x
x² - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 v x = 3
si x = 2 → y = 5 - 2 = 3
si x = 3 → y = 5 - 3 = 2
Por lo tanto: x = 3 , y = 2 (x>y)
⇒ √(5 + 2√6) = √3 + √2 = √2+√3
2) √(6+2√8)
De forma directa[Tanteo], damos valores para "x" e "y":
x + y = 6
x.y = 8
Dando valores: x = 4 , y = 2 (x>y)
Por lo tanto:
⇒ √(6+2√8) = √2 + √4 = √2 + 2
√(6+2√8) = 2 + √2
3) √(11 - 2√8) = √(11 - 2√(4*2)) = √(11 - 4√2)
Ésta sería su forma más simple. Si trataramos de convertirlo como la suma de otras dos raices, obtendriamos nuevamente raices dentro de otras raices.
Observa:
x + y = 11
x.y = 8 → y = 8/x : x + 8/x = 11
x² + 8 = 11x
x² - 11x + 8 = 0
x = (11 ± √89)/2
Si: x = (11 + √89)/2 → y = (11 - √89)/2 [x>y]
⇒ √(11 - 2√8) = √ [(11 +√89)/2] - √ [(11 - √89)/2]
4) √(7 + 2√10)
x+y = 7
x.y = 10
Dando valores: x = 5 , y = 2 (x>y)
Por lo tanto: √(7+2√10) = √5 + √2 = √2+√5
5) √(9 - 2√20)
x+y = 9
x.y = 20
Dando valores: x = 5 , y = 4 (x>y)
Por lo tanto: √(9-2√20) = √5 - √4 = √5 - 2
6) √(18 - 2√32)
x + y = 18
x.y = 32
Dando valores: x = 16 , y = 2 (x>y)
Por lo tanto: √(18 - 2√32) = √16 - √2 = 4 - √2
7) Calcular: √(12+2√27) + √7 - 2√12
Observacion: * √(12 + 2√27) = √9 + √3 .... (pues 3+9 = 12 , 9*3 = 27)
= 3 + √3
* 2√12 = 2√(4*3) = 4√3
Por lo tanto:
√(12+2√27) + √7 - 2√12 = 3 + √3 +√ 7 - 4√3
= 3 - 3√3 + √7
8) Efectua: Q = √(19 + 2√48)√3
Observacion:
* √(19 + 2√48) = √16 + √3 .... (pues 16+3 = 19 , 16*3 = 48)
= 4 + √3
⇒ Q = √(19 + 2√48)√3 = (4+√3)√3 = 4√3 + (√3)²
Q = 3 + 4√3
9) Transformar: A = √(2x + 2√(x² - x) - √(x-1) )
(Antes de ver la siguiente solucion, VERIFIQUE que ha copiado bien éste ejercicio)
A = √(2x + 2√(x² - x) - √(x-1) )
A = √( [2x- √(x-1) ] + 2√(x² - x) )
X + Y = 2x - √(x-1)
X.Y = 2√(x² - x) → X = 2√(x²-x)/Y
⇒ 2√(x²-x)/Y + Y = 2x - √(x-1)
2√(x² - x) + Y² = (2x-√(x-1))Y
Y² - (2x-√(x-1))Y + 2√(x² - x) = 0
Y = ( 2x-√(x-1) ± √[(2x-√(x-1))² - 4(2√(x² - x))] )/2
Y = 2x-√(x-1) ± √(4x² + 8√(x² - x) - 4√(x-1) + x -1 ))/2
Si Y = ( 2x-√(x-1) ± √(4x² + 8√(x² - x) - 4√(x-1) + x -1 ))/2
X = 2x - √(x-1) ∓ Y
⇒ A = √X + √Y
10) Si: √(7 + 2√10) = √(a-1) + √(b-3) , a > b
Hallar a - b:
Observacion: √(7 + 2√10) = √5 + √2 (ya que: 5+2 = 7 , 5*2 = 10)
⇒ √5 + √2 = √(a-1) + √(b-3)
i) Si: { 5 = a-1 → a = 6
{ 2 = b - 3 → b = 5
Se verifica que a>b ⇒ a - b = 6 - 5 = 1
ii) Si { 5 = b-3 → b = 8
{ 2 = a-1 → a = 3
No se verifica que: a > b , por lo tanto los valores obtenidos son incorrectos, y la respuesta seria lo anterior (en negrita)
Saludos patosisi