Question

¡ SOLO PARA LOS VERDADEROS TIGRES!

Answer 1

Trataremos de abreviar procedimiento

1) Sea
$a=\sin f\cos x\\ b=\cos f\cos x\\ c=\sin x$

entonces en el numerador tenemos algo como

$N=(a + b + c)^5 + (a - b - c)^5 - (a + b - c)^5 - (a - b + c)^5$

2) Pongamos 
y = b + c
z = b - c

entonces

$N=(a + y)^5 + (a - y)^5 - (a + z)^5 - (a - z)^5\\ \\ N=2(a^5+10a^3y^2+5ay^4)-2(a^5+10a^3z^2+5az^4)\\ \\ N=2a(a^4+10a^2y^2+5y^4)-2a(a^4+10a^2z^2+5z^4)\\ \\ N=2a(10a^2y^2+5y^4-10a^2z^2-5z^4)\\ \\ N=10a[(y^4-z^4)+2a^2(y^2-z^2)]\\ \\ N=10a(y^2-z^2)(y^2+z^2+2a^2)\\ \\ N=10a(y-z)(y+z)(2b^2+2c^2+2a^2)\\ \\ N=10a(2c)(2b)(2b^2+2c^2+2a^2)\\ \\ \boxed{N=80abc(a^2+b^2+c^2)}$

3) En el denominador tenemos $D= 16abc$ por ende

$R=\dfrac{80abc(a^2+b^2+c^2)}{16abc}=5(a^2+b^2+c^2)\\ \\ \\ R=5[(\sin f\cos x)^2+(\cos f\cos x)^2+(\sin x)^2]\\ \\ R=5[\cos^2x+\sin^2x]\\ \\ \boxed{\boxed{R=5}}$