Dado un polígono de vértices A=(2,2,3);B=(4,1,5);C=(5,4,2);d=(6,4,2) Halle el área; perímetro y ángulo del vértice B
Respuestas
Para esto se divide el cuadrilátero en 2 triángulos: se calcula el área de estos dos triángulos: primero calculamos los lados y utilizando la ecuación de que el área es el modulo del producto vectorial de los lados dividido entre dos calculamos el área.
AB = (4,1,5) – (2,2,3) =(2,-1,2)
AD= (6,4,2) - (2,2,3) = (4,2,-1)
CB= (4,1,5) - (5,4,2) = (-1,-3,3)
CD= (6,4,2) - (5,4,2) = (1,0,0)
Ahora calculamos los productos vectoriales.
ABxAD= (2,-1,2) x (4,2,-1) = (-3,10,8)
CBxCD= (-1,-3,3) x (1,0,0) = (0,3,3)
Calculamos el módulo de estos vectores:
| ABxAD |= \sqrt{ (-3)^{2} +(10)^{2}+(8)^{2}}
| ABxAD |= \sqrt{ 9 +100+64} =\sqrt{ 173}
| CBxCD |= \sqrt{ (0)^{2} +(3)^{2}+(3)^{2}} =\sqrt{ 18}
Y el área de los triángulos es la mitad de dichos módulos
A1=\sqrt{ 173}/2
A2= =\sqrt{ 18}/2
Afinal=\sqrt{ 173}/2 +\sqrt{ 18}/2 =6.57+2.12= 8.69 U2
Como tiene 4 lados entonces es un cuadrilátero calculemos la distancia de cada una de sus lados:
d= \sqrt{ (a1-a2)^{2} +(b1-b2)^{2}+(c1-c2)^{2}}
1 lado: (AB)
d= \sqrt{ (2-4)^{2} +(2-1)^{2}+(3-5)^{2}}
d= \sqrt{ 4 +1+4}
d= \sqrt{ 9}
d= 3 U
2 lado: (BC)
d= \sqrt{ (4-5)^{2} +(1-4)^{2}+(5-2)^{2}}
d= \sqrt{ (1 +9+9}
d= \sqrt{19} U
3lado (CD)
d= \sqrt{ (5-6)^{2} +(4-4)^{2}+(2-2)^{2}}
d= \sqrt{ (1 +0+0}
d= 1U
4 lado (DA)
d= \sqrt{ (6-2)^{2} +(4-2)^{2}+(2-3)^{2}}
d= \sqrt{16 +4+1}
d= \sqrt{21} U
El perímetro es la suma de estos lados:
P= 3U+ \sqrt{19} U + 1 U + \sqrt{21} U
P= 3U+ 4.36 U + 1 U + 4.58 U
P= 3U+ 4.36 U + 1 U + 4.58 U
P= 12.94 U
Angulo de vértice B es el angulo entre los vectores
AB y BC
AB = (4,1,5) – (2,2,3) =(2,-1,2)
BC= (5,4,2) – (4,1,5) = (1,3,-3)
Calculamos el modulo de cada uno:
|AB|= \sqrt{ (2)^{2} +(-1)^{2}+(2)^{2}}
|AB|= \sqrt{ 9} = 3U
|BC|= \sqrt{ (1)^{2} +(3)^{2}+(-3)^{2}}
|BC|= \sqrt{ 19} = 4.36U
Ahora con la ecuación de cos del angulo tenemos
Cos λ =( (2,-1,2)*(1,3,-3))/4.36*3
Cos λ = (2-3-6)/17.08 = -0.41
λ = 114.20 °