Determina la ecuación de la recta tangente a la circunferencia con ecuación 2x2+2y2-4x+12y-30=0 en el punto P(4,1).
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7
Hola. primero completamos cuadrados para encontrar la ecuación de la circunferencia
![2 {x}^{2} + 2 {y}^{2} - 4x + 12y - 30 = 0 \\ {x}^{2} + {y}^{2} - 2x + 6y = 15\\ ( {x}^{2} - 2x + 1) + ( {y}^{2} + 6y + 9) = 15 + 1 + 9 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 25 = {5}^{2} 2 {x}^{2} + 2 {y}^{2} - 4x + 12y - 30 = 0 \\ {x}^{2} + {y}^{2} - 2x + 6y = 15\\ ( {x}^{2} - 2x + 1) + ( {y}^{2} + 6y + 9) = 15 + 1 + 9 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 25 = {5}^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=2+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%2B+2+%7By%7D%5E%7B2%7D+-+4x+%2B+12y+-+30+%3D+0+%5C%5C+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%2B+%7By%7D%5E%7B2%7D+-+2x+%2B+6y+%3D+15%5C%5C+%28+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+-+2x+%2B+1%29+%2B+%28+%7By%7D%5E%7B2%7D+%2B+6y+%2B+9%29+%3D+15+%2B+1+%2B+9+%5C%5C+%7B%28x+-+1%29%7D%5E%7B2%7D+%2B+%7B%28y+%2B+3%29%7D%5E%7B2%7D+%3D+25+%3D+%7B5%7D%5E%7B2%7D+)
la recta tangente en el punto P(4;1) es dada por tiene por vector director
![(x - 4.y - 1) (x - 4.y - 1)](https://tex.z-dn.net/?f=%28x+-+4.y+-+1%29)
este vector es perpendicular al vector que se forma con el punto de tangencia y el centro de la circunferencia
(4+1;1-3)=(5;-2)
luego, por ser perpendiculares
la recta tangente en el punto P(4;1) es dada por tiene por vector director
este vector es perpendicular al vector que se forma con el punto de tangencia y el centro de la circunferencia
(4+1;1-3)=(5;-2)
luego, por ser perpendiculares
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/d33/7663c1b2dc1bc347e9a56ae821501084.jpg)
![](https://es-static.z-dn.net/files/de5/420ee38a7ccbe5abb8f09bdda07dd18b.jpg)
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