Question

Si la suma de los cuadrados de dos números positivos es 15 y el producto entre ellos es 5, ¿cuánto vale la suma de tales números?

Answer 1

Llamemos X e Y a esos dos números, formamos ambas ecuaciones:
${x}^{2} + {y}^{2} = 15 \\ x \times y = 5$
Ahora despejamos X en la segunda ecuación:
$x = \frac{5}{y}$
Ahora reemplazamos en la primera:
${( \frac{5}{y} )}^{2} + {y}^{2} = 15 \\ \frac{25}{ {y}^{2} } + {y}^{2} = 15 \\ \frac{25 + {y}^{4} }{ {y}^{2} } = 15 \\ 25 + {y}^{4} = 15 {y}^{2} \\ {y}^{4} - 15 {y}^{2} + 25 = 0$
Si aplicamos la cuadrática, hallaremos el valor de Y^2, ya que lo tenemos elevado a 4:
${y}^{2} = \frac{ - b + - \sqrt{ {b}^{2} - 4ac} }{2a}$
Nos queda:
${y}^{2} = \frac{15 +5 \sqrt{5} }{2} \\ {y}^{2} = \frac{15 - 5 \sqrt{5} }{2}$
Sacamos raíz de ambos y tenenos los valores:
$y = 3.618 \\ x = 1.382$
Esos serían los valores de X e Y, si los multiplicas te dan 5, y si los elevas al cuadrado y sumas te dan 15.