Una piedra de 15.0 kg baja deslizándose una colina nevada, partiendo del punto A con una rapidez de 10.0 m/s. No hay fricción en la colina entre los puntos A y B, pero sí en el terreno plano en la base, entre B y la pared. Después de entrar en la región áspera, la piedra recorre 100 m y choca con un resorte muy largo y ligero, cuya constante de fuerza es de 2.00 N/m. Los coeficientes de fricción cinética y estática entre la piedra y el suelo horizontal son de 0.20 y 0.80, respectivamente. a) ¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar al punto B? b) ¿Qué distancia comprimirá la piedra al resorte? c) ¿La piedra se moverá otra vez después de haber sido detenida por el resorte?
Respuestas
m= 15 kg
V = 10m/seg
d= 100m
μc = 0,20
μe = 0,80
h = 20m
X = 15 m
K = 2 N/m
a) ¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar al punto B?
Ec inicial + Ep inicial = Ec final
1/2 m* Vi² +m*g*h =1/2 m* Vf² eliminamos las masas
V1² +2gh = Vf²
Vf = √V1² +2gh
Vf = √(10m/seg)² +2 *9,8 m/seg² * 20m
Vf= 22,18 m/seg
b) ¿Qué distancia comprimirá la piedra al resorte?
WFr: Trabajo de la Fuerza de fricción
X = 100 + Xc
Eci +Epi +WFr = Ep elástica
1/2m/ Vi² + m*g*h +Fr* X = 1/2 K/ Xc²
1/2 m* Vi² +m*g*h + m*μ*g*x = 1/2 K/ Xc²
Voy a sustituir solo valores sin unidades por cuestión de espacio, para ser mejor visualizado el procedimiento:
1/2*15*(10)² +15*9,8*20+15 (-0,20)*9,9 (100- Xc) = 1/2 *2Xc²
Resultado la siguiente ecuación de segundo grado:
Xc² +29,4 Xc -750 = 0
Xc = -29,4 +-√(29,4) +4 *1 *750 /2
Xc = 16,38 m
c) ¿La piedra se moverá otra vez después de haber sido detenida por el resorte?
Fr - KXc
Fr = KXc
Fr = 2N/m * 16,38 m
Fr = 32,76 N
Fr max = μe *m*g
Fr max = 0,8 * 15kg * 9,8m/seg²
Fr max =117,60N
Como la Fuerza de Fricción estática es mayor a la cinética la roca no se moverá, luego de ser impulsada por el resorte
En el sistema piedra resorte la velocidad en el punto B vale Vb = 21 m/s, y resorte se comprime 27 metros.
Este problema lo podemos resolver si identificamos que entre A y B, y cuando se comprime el resorte, actúan solamente fuerzas conservativas, por tanto el energía mecánica de la piedra permanece constante.
En el tramo en que se considere la fricción, que es una fuerza no conservativa, parte de la energía mecánica es transferida.
¿Cómo se calcula la energía mecánica?
Se obtiene sumando la energía potencial U más la energía cinética K:
Em = U + K
- Parte a: Rapidez de la piedra en el punto B:
La energía mecánica en B es igual a la del punto A:
m*g*Yb + (1/2)*m*Vb^2 = m*g*Ya + (1/2)*m*Va^2
15*9.8*0 + (1/2)*10*Vb^2 = 15*9.8*10 + (1/2)*15*10^2
Vb = 21 m/s
- Parte b: Distancia que se comprime el resorte:
La fuerza de fricción se calcula con el coeficiente cinético:
Ff = μ*m*g
Ff = 0.2*15*9.8 = 29.4 N
El trabajo que realiza la fuerza de fricción es:
W = F*X
W = 29.4*100 = 2940 J
Entonces la energía cuando el resorte se comprime es igual a la del punto b menos la transferida por la fricción:
(1/2)*K*x^2 = (1/2)*10*Vb^2 - W
(1/2)*2*x^2 = (1/2)*10*21^2 - 2940
x = 27.11 m
El resorte se comprime 27.11 metros.
- Parte c: ¿se mueve la piedra?:
La fuerza aplicada por el resorte:
Fr = K*x
Fr = 2*27.11 = 54.22 N
Mientras que la fricción estática:
Ff = 0.8*15*9.8 = 117 N
Como la fricción es mayor el resorte no se mueve.
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