En un x día en cierta ciudad, la temperatura T en grados centígrados varió con el tiempo t en horas según la función T(t)= t² -9t + 8. Para 0 ≤ t ≤ 12 Encontrar: a. La temperatura a las 2 de la mañana b. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿a qué hora? c. ¿A qué hora hubo cero grados? d. Halla T´(2) y explica su significado.
Respuestas
Lo primero que debemos hacer es acordar los valores t como t va de 0 a 12 y el día tiene 24 horas entonces cada ahora va de 0.5 en 0.5 es decir las 12 es t=0, la 1 es t=0.5. las 2 es t=1. y asi sucesivamente si queremos saber el valor de t dividimos el valor de la hora entre 2.
a. La temperatura a las 2 de la mañana
t= 1. Sustituyendo en la ecuación de temperatura:
T(1)= 1² -9*1 + 8= 1-9+8 = 0 °C
b. Cuál fue la temperatura mínima: para esto encontramos el minimo de la función derivando e igualando a 0. Luego sustitumos para saber el valor de la temperatura en ese tiempo.
dT/dt= 2t-9 = 0
⇒ 2t=9 por lo tanto t= 9/2.
Sustituimos
T(9/2)= (9/2)² -9*(9/2) + 8= -49/4 °C = -12.25°C
¿a qué hora? como t= 9/2 entonces multiplicamos este valor por 2 para saber la hora: 9/2*2=9. Fue a las 9 de la mañana.
c. ¿A qué hora hubo cero grados?
Para esto igualamos T(t) a 0 y encontramos t luego multiplicamos por 2 y obtenemos el la hora.
0= t² -9t + 8 implica (t-8)*(t-1)=0 por lo tanto t= 8 ó t=1
si t = 8 ocurrió a las 16 horas es decir a las 4 de la tarde
si t=1 ocurrió a las 2 horas es decir a las 2 de la mañana
Por lo tanto hubo cero grados a las 2 de la mañana y a las 4 de la tarde
d. Halla T´(2) y explica su significado.
Como ya en el primer paso encontramos la primera derivada entonces sustituimos
T’(t)= 2t-9
T’(2) = 2*2-9= 4-9= -5°C
Este valor corresponde a la tasa de variación instantánea de la temperatura con respecto al tiempo t. en ese punto