Question

Encuentren todos los numeros naturales mayores que 1500 y menores que 2000 que al dividirlos por 3 y por 5 tengan resto 1 y que al dividirlos por 7 tenga resto 7

Answer 1

Teorema chino del resto 

buscamos 
x = 3 q1 + 1 
x = 5 q2 + 1 
x = 7 q3 + 3 

n1 = 3 ; r1 = 1 
n2 = 5 ; r2 = 1 
n3 = 7 ; r3 = 3 



N = n1 * n2 * n3 = 3 * 5 * 7 = 105 

Primero 
n1 = 3 
N1 = N/n1 = 35 

buscamos solución a 
s1 * 35 = 1 + 3 u1 

Como 
2*35 = 70 = 1 + 69 = 1 + 3*23 
s1 = 2 
*********** 

Segundo 
n2 = 5 
N2 = N/n2 = 21 

buscamos solución a 
s2 * 21 = 1 + 5 u2 

Como 
1*21 = 21 = 1 + 20 = 1 + 5*4 
s2 = 1 
*********** 

Tercero 
n3 = 7 
N3 = N/n3 = 15 

buscamos solución a 
s3 * 15 = 1 + 7 u3 

Como 
1*15 = 15 = 1 + 14 = 1 + 2*7 
s3 = 1 
*********** 

Entonces, la solución general es 
x = r1 s1 N1 + r2 s2 N2 + r3 s3 N3 + k N 

x = 1 * 2 * 35 + 1 * 1 * 21 + 3 * 1 * 15 + k * 105 

x = 70 + 21 + 45 + k * 105 

x = 136 + k * 105 
********************* 

Entre 1500 y 2000 

1500 - 136 = 1364 / 105 -> aprox 12 
2000 - 136 = 1864 / 105 -> aprox 15 

12 * 105 + 136 = 1260 + 136 = 1396 (no en intervalo) 
1396 + 105 = 1501 
1501 + 105 = 1606 
1606 + 105 = 1711 
1711 + 105 = 1816 
1816 + 105 = 1921 
1921 + 105 = 2026 (no en intervalo) 

Soluciones 
1501 , 1606 , 1711 , 1816 , 1921