Question

Ejemplos de gradiente
Ayuda!!!

Answer 1

Sea f : Ω ⊂ R
n → R una funci´on diferenciable en x0. Entonces el vector cuyas componentes
son las derivadas parciales de f en x0 se le denomina Vector Gradiente y se le denota por
∇f, es la funci´on vectorial definida por:
∇f(x0) =
∂f(x0)
∂x1
,
∂f(x0)
∂x2
, ...,
∂f(x0)
∂xn

En el caso particular n = 3 se tiene que:
∇f(x0) =
∂f(x0)
∂x ,
∂f(x0)
∂y ,
∂f(x0)
∂z
En el caso particular n = 2 se tiene que:
∇f(x0) =
∂f(x0)
∂x ,
∂f(x0)
∂y
Ejemplo.-Calcular ∇f(x, y) donde f(x, y) = x
2y + y
3
.
Sol. Tenemos que las derivadas parciales son:
∂f
∂x =
∂(x
2y + y
3
)
∂x = 2xy
∂f
∂y =
∂(x
2y + y
3
)
∂y = x
2 + 3y
2
∴ el vector gradiente es:
∇f(x, y) =
2xy, x2 + 3y
2

Teorema 1. Si f es una funci´on diferenciable de x e y entonces su derivada en el punto
(x0, y0) en la direcci´on del vector unitario u es
Duf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · u
Demostraci´on. Como ∇f(x0, y0) =
∂f(x0,y0)
∂x ,
∂f(x0,y0)
∂y
y u = (u1, u2) se tiene que
∇f(x0, y0)·u =

∂f(x0, y0)
∂x ,
∂f(x0, y0)
∂y
·(u1, u2) = ∂f(x0, y0)
∂x u1+
∂f(x0, y0)
∂y u2 = Duf(x0, y0)
Ejemplo.- Halle la derivada direccional de f(x, y) = ln
x
2 + y
2

en el punto (1, 3) en la
direcci´on u = (2, −3)
Sol. Tenemos que ∂f
∂x =
2x
x2+y3 y
∂f
∂y =
3y
2
x2+y3 ∴
∂f(1,−3)
∂x =
−1
13 y
∂f(1,−3)
∂y =
−27
26 . Ahora bien
el vector unitario asociado a u es √
1
13 (2, −3) ∴
∇f(1, −3) ·

1
√
13
(2, −3)
=

−2
26 2
√
13
+

−27
26 −3
√
13
=
77√
13
33

si no le entendiste te dejo unas imagenes