Question

hallar la ecuacion de la parabola que pasa por los puntos A(7,8) y B (2,-2) y que tiene como directriz a la recta x=-3

Answer 1

Como la directriz es x = -3 entonces es una parábola horizontal de la forma:
(y - k)² = 4p(x - h)
donde (h,k) es el vértice, (h + p , k) es el foco y su directriz es x = h - p

Sustituimos los valores que te dan:
1) -3 = h - p
2) (8 - k)² = 4p(7 - h)
3) (-2 - k)² = 4p(2 - h)

Ahora resolvemos el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
64 - 16k + k² = 28p - 4ph
4 + 4k + k² = 8p - 4ph
k² -16k + 64 - k² - 4k - 4 = 28p - 4ph - 8p + 4ph
-20k + 60 = 20p
3 = p + k
k = 3 - p
h = p - 3

4 + 4k + k² = 8p - 4ph
4 + 4(3 - p) + (3 - p)² = 8p - 4p(p - 3)
4 + 12 - 4p + 9 - 6p + p² = 8p - 4p² + 12p
5p² - 30p + 25 = 0
p² - 6p + 5 = 0
(p - 5)(p - 1) = 0
p₁ = 5  → k₁ = 3 - p = - 2  →  h₁ = p - 3 = 2
p₂ = 1  → k₂ = 3 - p = 2  →  h₂ = p - 3 = -2

Las dos posibles ecuaciones son:
(y + 2)² = 20(x - 2)
(y - 2)² = 4(x + 2)

Saludos!