Question

Dados los vectores u= -6t+9f y v= -t+9f ¿es correcto afirmar que el vector w= -11t-9f es una combinación lineal de u y v ?. Justificar la respuesta.

Answer 1

Supongamos que sí es una combinación lineal. Esto es, existen p y q números reales tales que:

w = up + vq
–11t–9f = (–6t+9f)p + (–t+9f)q
= –6tp+9fp–tq–9fq
= –6tp–tq+9fp–9fq
= (–6p–q)t+(9p–9q)f

Por lo tanto
–11t–9f = (–6p–q)t+(9p–9q)f

De donde salen las siguientes ecuaciones

–6p–q = –11
9p–9q = –9

Ahora resolvamos ese sistema de ecuaciones por sustitución.

De la primera ecuación tenemos que:
q = 11–6p #

Sustituyendo en la segunda ecuación:
9p–9(11–6p) = –9
9p–99+54p = –9
63p = 90
p = 90/63 = 10/7

Ahora, sustituyendo este resultado en #
q = 11–6(10/7) = 11–60/7 = 77/7–60/7 = 17/7

Entonces podemos decir que w SÍ es una combinación lineal de u y v, que qué encontramos que:

w = u(10/7) + v(17/7)