Question

Dado el conjunto S= {u1,u2} donde u1 = (5,1) y u2 = ( -3 ,-2 ) Demostrar

que S genera a R²

Answer 1

Para demostrar que una conjunto genera un espacio vectorial hay que demostrar que todo vector perteneciente al espacio vectorial puede ser escrito como como combinación lineal de los vectores del conjunto.

 

Sin embargo en el caso de $R^{n}$ Si se tiene un conjunto de vectores pertenecientes a  $R^{n}$, dicho conjunto es de dimensión n (Número de elementos que tiene el conjunto) y ademas estos vectores son linealmente independiente, entonces el conjunto es una base de  $R^{n}$ y por lo tanto genera  $R^{n}$

 

Lo que quiere decir que como la dimensión del conjunto es 2, basta con demostrar que son linealmente independientes para decir que genera  $R^{2}$

 

Si dos vectores son linealmente independiente (li) uno no se puede escribir como combinación lineal del otro, que es lo mismo que decir que su combinación lineal es cero si y lo si los escalares son cero. Escribamos entonces como combinacion lineal y se demostrara que sus escalares son cero y por lo tanto son li.

 

λ(5,1)+β(-3,-2) = (0,0)

⇒ 5λ-3β=0

 y λ -2β=0

 

 Suma la primera ecuacion con -5 veces la segunda

⇒  5λ- 5λ-3β+10β=0

 

⇒ 7β= 0 ⇒ β=0/7=0 ⇒ β=0

 

Sustituimos el valor de β en la segunda ecuación

 

λ -2*0=0 ⇒  λ -0=0⇒ λ =0

 

Por lo tanto los vectores son li, pertenecen a  $R^{2}$ y el conjunto formado por ellos S es de dimensión 2 lo que significan que es una base de  $R^{2}$ y en particular como toda base genera el espacio entonces S genera a  $R^{2}$