Question

Derivada de la funcion f(x)=[(x-2)/(x+2)] resuelta con el metodo de los 4 pasos

Answer 1

$\textup{la expresi\'on es:}\\f(x)=\frac{x-2}{x+2}\\\textup{Usando la regla de los 4 pasos se tiene:}\\\textup{1.-Incrementamos la funci\'on}\\f'(x)=f(x+\Delta x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left[\frac{x+\Delta x-2}{x+\Delta x+2}\right]\\\textup{2.-Restamos la funci\'on original:}\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\left[\frac{x+\Delta x-2}{x+\Delta x+2}-\frac{x-2}{x+2}\right]\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+2)[x+\Delta x-2]-[x+\Delta x+2](x-2)}{(x+2)[x+\Delta x+2]}\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{x^{2}+x\Delta x+2\Deltax-4-x^{2}-x\Delta x+2\Delta x+4}{x^{2}+x\Delta x+4x+2\Delta x+4}\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4\Delta x}{\Delta x(x+2)+x^{2}+4x+4}\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4\Delta x}{\Delta x(x+2)(x+2)^{2}}\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4\Delta x}{\Delta x(x+2)^{3}}\\\textup{3.-Dividiendo entre:}\Delta x\,\textup{nos queda:}\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4}{(x+2)^{3}}\\\textup{4.-Evaluando el l\'imite}\\f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4}{(x+2)^{3}}\\f'(x)=\frac{4}{(x+2)^{3}}$
Saludos.