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Respuesta dada por:
1
no dijste cual asi que no es mi culpa
la ley de Gauss
La ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que relaciona el campo eléctrico con sus fuentes, las cargas
La ley de Gauss nos permite calcular de una forma simple el módulo del campo eléctrico, cuando conocemos la distribución de cargas con simetría esférica o cilíndrica tal como veremos en esta página.
Tumba de Carl Friedrich Gauss en Göttingen (Alemania). Busto de Gauss en la Universidad (Alte Aula)
Cuando el vector campo eléctrico
es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie
El vector superficie
es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.
Cuando el vector campo
y el vector superficie
son perpendiculares el flujo es cero
Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de cada elemento
−de superficie,
→
E
⋅
−→
d
S
E→⋅dS→ . El flujo a través de la superficie S, es
Φ
=
∫
S
→
E
⋅
−→
d
S
Φ=∫SE→·dS→
La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre ε0.
∮
→
E
⋅
−→
d
S
=
q
ε
0
∮E→·dS→=qε0
Vamos a ver algunos ejemplos típicos de aplicación de la ley de Gauss
Campo eléctrico producido por un hilo rectilíneo cargado
Para una línea indefinida cargada, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:
A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada
Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.
Flujo a través de las bases del cilindro: el campo
→
E
E→ y el vector superficie
→
S
1
S1→ o
→
S
2
S2→ forman 90º, luego el flujo es cero.
Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo
→
E
E→ es paralelo al vector superficie
−→
d
S
dS→ . El campo eléctrico
→
E
E→ es constante en todos los puntos de la superficie lateral
∫
S
→
E
⋅
−→
d
S
=
∫
S
E
⋅
d
S
cos
0
º
=
E
∫
S
d
S
=
E
⋅
2
π
r
L
∫SE→·dS→=∫SE·dScos0º=E∫SdS=E·2π rL
El flujo total es, E·2π rL
Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cilíndrica de longitud L y radio r es q=λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud.
Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E
2
π
r
L
=
λ
L
ε
0
E
=
λ
2
π
ε
0
r
E2π rL=λ Lε0 E=λ2π ε0 r
Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:
A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial
Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera concéntricade radio r.
El campo eléctrico
→
E
E→ es paralelo al vector superficie
−→
d
S
dS→ . Por simetría el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica de radio r, por lo que,
∫
S
→
E
⋅
−→
d
S
=
∫
S
E
⋅
d
S
cos
0
º
=
E
∫
S
d
S
=
E
⋅
4
π
r
2
∫SE→·dS→=∫SE·dScos0º=E∫SdS=E·4π r2
El flujo total es, E·4πr2
Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Para r
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total (en color rosado), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r.
q
=
Q
r
3
R
3
q=Qr3R3
Para r>R (figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q=Q.
Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E
4
π
r
2
=
q
ε
0
E4π r2=qε0
Se obtiene
E
=
Q
r
4
π
ε
0
R
3
(
r
<
R
)
E
=
Q
4
π
ε
0
r
2
(
r
>
R
)
E=Qr4π ε0 R3 ( rR)
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.
Potencial a una distancia r del centro de la esfera cargada
Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V(r) a la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V(r)-V(∞). Por convenio, se establece que en el infinito la energía potencial es cero.
Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0< rR
r>R. Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada
la ley de Gauss
La ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que relaciona el campo eléctrico con sus fuentes, las cargas
La ley de Gauss nos permite calcular de una forma simple el módulo del campo eléctrico, cuando conocemos la distribución de cargas con simetría esférica o cilíndrica tal como veremos en esta página.
Tumba de Carl Friedrich Gauss en Göttingen (Alemania). Busto de Gauss en la Universidad (Alte Aula)
Cuando el vector campo eléctrico
es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie
El vector superficie
es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.
Cuando el vector campo
y el vector superficie
son perpendiculares el flujo es cero
Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de cada elemento
−de superficie,
→
E
⋅
−→
d
S
E→⋅dS→ . El flujo a través de la superficie S, es
Φ
=
∫
S
→
E
⋅
−→
d
S
Φ=∫SE→·dS→
La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre ε0.
∮
→
E
⋅
−→
d
S
=
q
ε
0
∮E→·dS→=qε0
Vamos a ver algunos ejemplos típicos de aplicación de la ley de Gauss
Campo eléctrico producido por un hilo rectilíneo cargado
Para una línea indefinida cargada, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:
A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada
Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.
Flujo a través de las bases del cilindro: el campo
→
E
E→ y el vector superficie
→
S
1
S1→ o
→
S
2
S2→ forman 90º, luego el flujo es cero.
Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo
→
E
E→ es paralelo al vector superficie
−→
d
S
dS→ . El campo eléctrico
→
E
E→ es constante en todos los puntos de la superficie lateral
∫
S
→
E
⋅
−→
d
S
=
∫
S
E
⋅
d
S
cos
0
º
=
E
∫
S
d
S
=
E
⋅
2
π
r
L
∫SE→·dS→=∫SE·dScos0º=E∫SdS=E·2π rL
El flujo total es, E·2π rL
Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cilíndrica de longitud L y radio r es q=λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud.
Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E
2
π
r
L
=
λ
L
ε
0
E
=
λ
2
π
ε
0
r
E2π rL=λ Lε0 E=λ2π ε0 r
Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:
A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial
Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera concéntricade radio r.
El campo eléctrico
→
E
E→ es paralelo al vector superficie
−→
d
S
dS→ . Por simetría el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica de radio r, por lo que,
∫
S
→
E
⋅
−→
d
S
=
∫
S
E
⋅
d
S
cos
0
º
=
E
∫
S
d
S
=
E
⋅
4
π
r
2
∫SE→·dS→=∫SE·dScos0º=E∫SdS=E·4π r2
El flujo total es, E·4πr2
Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Para r
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total (en color rosado), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r.
q
=
Q
r
3
R
3
q=Qr3R3
Para r>R (figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q=Q.
Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E
4
π
r
2
=
q
ε
0
E4π r2=qε0
Se obtiene
E
=
Q
r
4
π
ε
0
R
3
(
r
<
R
)
E
=
Q
4
π
ε
0
r
2
(
r
>
R
)
E=Qr4π ε0 R3 ( rR)
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.
Potencial a una distancia r del centro de la esfera cargada
Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V(r) a la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V(r)-V(∞). Por convenio, se establece que en el infinito la energía potencial es cero.
Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0< rR
r>R. Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada
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