Un arco de 80 metro de luz tiene forma semieliptica. Sabiendo que su altura es de 30m. Hallar la altura del arco en un punto situado a 15 metros del centro
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Respuesta dada por:
162
Respuesta: La altura del arco es igual a (15√55)/4 metros = 27.81 metros
Tenemos una altura de 30 metros y una base de arco igual a 80 metros.
Por ecuación de la elipse tenemos:
![\frac{ x^{2}}{ a^{2}} + \frac{ y^{2}}{ b^{2}} =1 \frac{ x^{2}}{ a^{2}} + \frac{ y^{2}}{ b^{2}} =1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D%7D%7B+a%5E%7B2%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B+y%5E%7B2%7D%7D%7B+b%5E%7B2%7D%7D+%3D1)
Ahora bien: a = 80/2 = 40, ya que es la distancia media de la elipse, tal que a² = 40² = 1600
b = 30 ya que es la altura, tal que b² = 900
Sustituimos:
![\frac{ x^{2}}{1600} + \frac{ y^{2}}{ 900} =1 \frac{ x^{2}}{1600} + \frac{ y^{2}}{ 900} =1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D%7D%7B1600%7D+%2B+%5Cfrac%7B+y%5E%7B2%7D%7D%7B+900%7D+%3D1)
Nos piden evaluar para x = 15 metros, sustituimos:
, el objetivo es despejar y
![\frac{9}{64}+ + \frac{ y^{2}}{ 900} =1 \frac{9}{64}+ + \frac{ y^{2}}{ 900} =1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B9%7D%7B64%7D%2B+%2B+%5Cfrac%7B+y%5E%7B2%7D%7D%7B+900%7D+%3D1)
![\frac{ y^{2}}{ 900} =1- \frac{9}{64} \frac{ y^{2}}{ 900} =1- \frac{9}{64}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B+y%5E%7B2%7D%7D%7B+900%7D+%3D1-+%5Cfrac%7B9%7D%7B64%7D)
![\frac{ y^{2}}{ 900} =\frac{55}{64} \frac{ y^{2}}{ 900} =\frac{55}{64}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B+y%5E%7B2%7D%7D%7B+900%7D+%3D%5Cfrac%7B55%7D%7B64%7D)
![y^{2}=\frac{55}{64}*900 y^{2}=\frac{55}{64}*900](https://tex.z-dn.net/?f=y%5E%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B55%7D%7B64%7D%2A900)
y² = 773.44
y = √773.44
y = (15√55)/4
y = 27.81 metros
Tenemos una altura de 30 metros y una base de arco igual a 80 metros.
Por ecuación de la elipse tenemos:
Ahora bien: a = 80/2 = 40, ya que es la distancia media de la elipse, tal que a² = 40² = 1600
b = 30 ya que es la altura, tal que b² = 900
Sustituimos:
Nos piden evaluar para x = 15 metros, sustituimos:
y² = 773.44
y = √773.44
y = (15√55)/4
y = 27.81 metros
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