Question

Demostrar que :4x^2+9y^2-16x+18y-11=0 es la ecuación de una elipse y determine:

Centro

Focos

Vértices

Answer 1

Tenemos como cónica una elipse si se presentan en la ecuación dos variables cuadráticas de diferente coeficiente y sumándose, siguiendo la forma:

$\frac{(x-h)^{2} }{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2} }{b^{2}}=1$

Tenemos la ecuación:

4x² + 9y² - 16x + 18y - 11 = 0

Agrupamos las x:

4x² - 16x + 9y² + 18y - 11 = 0

4(x² - 4x) + 9(y² + 2y) - 11= 0 

Completamos cuadrados para ambos:

4(x² - 4x + 4 - 4) + 9(y² + 2y + 1 - 1) = 11

4(x - 4)² - 16 + 9 (y + 1)² - 9 = 11

4(x - 4)² + 9 (y + 1)² - 25 = 11

4(x - 4)² + 9 (y + 1)² = 36

Dividimos todo por 36:

4(x - 4)²/36 + 9 (y + 1)²/36 = 36/36

(x - 4)²/9 + (y + 1)²/4 = 1

$\frac{(x-4)^{2} }{3^{2}} + \frac{(y+1)^{2} }{2^{2}}=1$

Con a = 3 y b = 2

CENTRO

(h, k) → (2, -1)

Para los VÉRTICES, se cumple que:

Vértice 1: (h + a, k) → (2 + 3, -1) → (5, -1)
Vértice 2: (h - a, k) → (2 - 3, -1) → (-1, -1)

Para los FOCOS, se cumple que:

Se tiene que c² = a² - b²
c = √(9 - 4) = √5

Foco 1: (h + c, h) → (2 + √5, -1) 
Foco 2: (h - c, h) → (2 - √5, -1)

Answer 2

La ecuación 4x²+9y²-16x+18y-11=0 es una ecuación de una elipse de forma: (x-2)²/(√7)²  +(y+1)²/(√28/9)² =1

Explicación:

La ecuación de una elipse :

(x-h)²/b² +(y-k)²/a² = 1

Donde:

(h,k): son las coordenadas del centro

V₁(h,k-a)  V₂(h,k+a): son las coordenadas de los vértices

Sea c=a-b

F₁( h,k-c) F₂(h,k+c): coordenadas de los focos

Transformemos la ecuación que tenemos a una ecuación con la forma inicial:

4x²+9y²-16x+18y-11=0

4x²+9y²-16x+18y=11

Despejando y agrupando

(4x²-16x) +(9y²+18y) = 11

4(x²-4x) +9(y²+2y) =11

Completamos cuadrados:

4(x²-4x+2-2) +9(y²+2y+1-1) =11

4(x²-4x+2) -8+9(y²+2y+1) -9=11

4(x²-4x+2) +9(y²+2y+1) =11+8+9

Agrupamos nuevamente de manera conveniente y usamos producto notable:

(x-2)²/1/4  +(y+1)²/1/9 =28

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 28

(x-2)²/28/4  +(y+1)²/28/9 =1

(x-2)²/(√7)²  +(y+1)²/(√28/9)² =1

Centro: 

C(2,-1)

Vértices:

V₁(2,-1)

V₂(2,1)

 

Focos: 

c=28/9-7

c= -35/9

h=2

k=1

F₁( h,k-c) F₂(h,k+c)

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