Question

2.1 Expresar el polinomio p1={-14´2-75x-44} como una combinación lineal de los polinomios p2={x´2-3x+2} y p3={2x´2+7x-4} .

Answer 1

Una combinación lineal: Es la suma de elemento multiplicado por escalares.

Para este caso se debe determinar cuales son los escalares tal que la combinación lineal de P2 y P3 den como resultado P1. Escribamos la combinación lineal: 

λ( $x^{2} -3x+2$ ) + β( $2 x^{2} +7x-4$ ) = $-14 x^{2} -75x-44$

⇒  λ*$x^{2}$+ β*$2x^{2}$ = -14*$x^{2}$
      ⇒ λ+2β= -14 (1)

⇒ λ*(-3x)+ β*(7x)= -75x
      ⇒ -3λ+7β=-75 (2)

⇒ 2λ-4β=-44 (3)

Sumamos la tercera ecuacion con -2 veces la primera
2λ-2λ-4β-4β=-44 +28
⇒-8β=-16 ⇒ β= 2

Sustituimos el valor de  β en la primera ecuacion:

λ+2*2= -14 (1)
λ=-14-4 =-18

Ahora veamos si se cumple la segunda y tercera ecuacion

-3*-18+7*2=-75 (2)
54 +14=-75
68= -75, no se cumple, por lo tanto el sistema no tiene solución lo que implica que el polinomio P1 no se puede escribir como combinación lineal de P2 y P3