Question

De una progresión aritmética sabemos que la suma de a3 y a4 es 4 y
que el término a11 excede en 2 unidades al término a8. Calcula la suma
de sus primeros 12 términos.

Answer 1

De una progresión aritmética sabemos que la suma de a₃ y a₄ es 4 y
que el término a₁₁ excede en 2 unidades al término a₈.
Calcula la suma de sus primeros 12 términos.
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De la segunda pista podemos obtener la diferencia entre términos consecutivos ya que para llegar al término a₁₁ debemos sumar al término a₈ tres veces la diferencia anterior. Eso significa que podemos plantear esta ecuación:

a₈ +d+d+d = a₁₁
a₈ + 3d = a₁₁

Como dice que a₁₁ excede en 2 unidades a a₈, está claro que...
3d = 2 ... despejando ...
d = 2/3  y así hemos obtenido la diferencia entre términos consecutivos.

De la primera parte tenemos que...
a₄ + a₃ = 4

Pero también sabemos que...
a₄ - a₃ = 2/3

Esto es un sistema de 2 con 2 y se resuelve fácil por reducción...
a₄ + a₃ = 4
a₄ - a₃ = 2/3
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2a₄ = 2/3
6a₄ = 2
a₄ = 2/6 = 1/3 y ya sabemos el término a₄

Con ese término y la diferencia podemos calcular el primer término a₁ recurriendo a la fórmula del término general.

$a_n=a_1+(n-1)*d \\ \\ 1/3=a_1+(4-1)*(2/3) \\ \\ 1/3 = a_1+6/3 \\ \\ a_1=(1/3)-(6/3)= -\dfrac{5}{3}$

Ya conozco el primer término. Ahora debo saber el valor del 12º término para luego usar la fórmula de la suma de términos.

$a_{12} = -\dfrac{5}{3} +(12-1)* \dfrac{2}{3} \\ \\ \\ a_{12} = -\dfrac{5}{3} + \dfrac{22}{3} = \dfrac{17}{3}$

Ahora la suma de términos...

$S_{12} = \dfrac{(a_1+ a_{12})*n }{2} = \dfrac{[-(5/3)+(17/3) ]*12}{2} = (12/3)*6=24$

La respuesta es 24

Saludos.