Question

Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R: [y=x^2 , y=raiz de 8x alrededor del eje y=4 Elabore la gráfica y considere el volumen en unidades cúbicas..

Answer 1

Respuesta: 

Dada dos funciones, tal que: 

$f(x) = \sqrt{8x}$  y  $g(x) = x^{2}$

De modo qué el área que vamos a poner a girar para generar el sólido se encuentra delimitada por estas dos funciones, por lo que para realizar y calcular el volumen primero necesitamos determinar el área planteada: 

A= ∫f(x) dx - ∫g(x) dx 

o lo que es lo mismo: 

A= ∫f(x) - g(x) dx . 

Como se trata de dos funciones exponenciales, si pudiesemos ver el sólido de frente, se aproxima a la forma de un disco, por lo tanto podemos decir que: 

A= ∫ π (f(x)²-g(x)² dx

Ahora para definir los límites de integración vamos a igualar las dos gráficas: 

√8x=x²
8x= x⁴ 
8=x³
x= 2. 

Entonces vamos a integrar de 0 a 2: 

$V= \int\limits^2_0 {\pi ( \sqrt{8x} ^{2 }) - ( x^{2} )^{2}} \, dx$

$V=\pi \int\limits^2_0 { (8x) - ( x^{4} )} \, dx$

Resolviendo la integral y evaluando los límites de integración obtenemos que: 

V≈ 48π/5 m³