Encuentra el volumen comprendido entre la piramide de base cuadrada y un cono que se construye a partir de una circunferencia inscrita en la base de la piramide. Ten en cuenta que las caras laterales son triangulos isoceles.
Respuestas
Se tiene un cono dentro de una pirámide de base cuadrada, esto indica que el diámetro (D) de la base del cono inscrito es igual a la magnitud de una de las aristas de la base de la pirámide.
Sea “a” la magnitud de los lados de la base de la pirámide y “h” la altura común de ambas figuras y “r” el radio de lavase del cono.
La fórmula del volumen de una pirámide (Vp) es:
Vp = Área de la base x altura (h)/3
La fórmula del volumen de un cono (Vc) es:
Vc = π x radio (r)² x altura(h)/3
Se pide hallar el volumen entre ambas figuras, es decir, se deben restar el volumen de la pirámide menos el volumen del cono para obtener el volumen interno (Vi).
Vi = Vp - Vc
Vi= a² x h /3 - π x (r)² x h/3
Pero r = a/2, entonces:
Vi= a² h /3 - π (a/2)² x h/3 = a² h - π (a/2)2 h/3 = a² h - π (a²/4) h/3
Colocando h y a² como factor común:
Vi = a² h(1 – (π/4)/3 = a² h(4 - π)/12
Vi = a² h(4 - π)/12