Question

Un recipiente vacío de forma cilíndrica es llenado mediante una llave a flujo constante. En la imagen siguiente se muestra la altura que alcanza el cuerpo del líquido al transcurrir un segundo.

Recipiente 1
a. ¿Cuántos segundos tardará en llenarse el recipiente? Justifique su respuesta.
b. ¿Cómo crece la altura del cuerpo del líquido al paso del tiempo?
c. Proporcione la gráfica que muestre la altura del cuerpo del líquido al paso del tiempo.

Answer 1

Como no hay datos de ningún tipo implícitamente el ejercicio nos diría que trabajemos con letras.

Llamemos al radio del cilindro ''r'', la altura del agua medida desde el fondo ''h'' y la altura total del cilindro ''H''.

Como hablamos de un cilindro el volumen es:

$V= \pi r^{2}h$

El flujo o caudal es el volumen por unidad de tiempo (constante):

$\dot{V}= \dfrac{V}{t}$

a. ¿Cuántos segundos tardará en llenarse el recipiente? Justifique su respuesta.

Si el cilindro está lleno hasta el tope, implica que estamos a la altura ''H'':

$V= \pi r^{2}H$

Y el tiempo lo despejamos de:

$\dot{V}= \dfrac{V}{t} \Longrightarrow t= \dfrac{V}{ \dot{V}}$

Reemplazamos el valor del volumen:

$\boxed{t= \dfrac{ \pi r^{2}H }{ \dot{V}} }$

b. ¿Cómo crece la altura del cuerpo del líquido al paso del tiempo?

De la expresión del literal a), habría que reemplazar la altura del cilindro ''H'' por una altura ''h'' variable. Luego despejamos, así:

$t= \dfrac{ \pi r^{2}h }{ \dot{V}} \Longrightarrow h= \dfrac{t \dot{V}}{ \pi r^{2} }$

Podríamos tratar esta expresión como una función:

$\boxed{h(t)= \dfrac{t \dot{V}}{ \pi r^{2} }}$

c. Proporcione la gráfica que muestre la altura del cuerpo del líquido al paso del tiempo.

Siguiendo la expresión anterior (la altura en función del tiempo), recordamos que la única variable es el tiempo ya que las demás ''letras'' son constantes. 

Estaríamos ante una función lineal cuyo bosquejo queda adjunto.

Te cuidas c: