Question

¿ a que distancia de la base mayor de un trapecio se cortan los lados no paralelos del mismo ? sabiendo que la base mayor es de 80 cm,la base menor es de 60 cm y la altura es de 30 cm.

Answer 1

Hay que seguir las imágenes adjuntas.

El trapecio del que se nos habla, está encerrado por los puntos ABED (figura 1).

Luego, proyectas la recta AD del trapecio, y lo mismo haces con la recta BE, hasta que se cortan en un punto que he decidido llamar C.

Aparece entonces una distancia ''d'' señalada en la imagen 2.

En total se identifican tres figuras:

- El trapecio original (de vértices ABED)
- Un pequeño triángulo encima del trapecio (de vértices DEC).
- Un triángulo mayor que contiene a ambas figuras (de vértices ABC). 

El planteamiento va con las áreas. El área del triángulo mayor ABC, es la suma del área del triángulo menor DEC y el trapecio ABED:

$A_{ABC}= A_{DEC}+ A_{ABED}$   (1)

Para el caso del trapecio recordemos que de manera general su área es:

$\boxed{A_{trapecio}= \left(\ \dfrac{B+b}{2}\right)h}$

El promedio de la suma de sus bases y eso multiplicado por su altura. Para el triángulo en cambio recordamos es:

$\boxed{A_{tri \acute{a}ngulo}= \dfrac{bh}{2}}$

La mitad del producto entre su base y su altura. Tomando esto en cuenta empezamos a escribir el área del triángulo mayor ABC:

$A_{ABC}= \dfrac{(80)(30+d)}{2}$

Debido a que la base es 80 cm, y la altura: 30 + la distancia desconocida ''d''. Por otro lado, para el trapecio ABDE tendríamos:

$A_{ABDE}=\left(\ \dfrac{80+60}{2}\right)30$

Debido a que la base mayor mide 80 cm, la menor unos 60 y la altura es de 30.

Finalmente para el triángulo menor DEC tenemos:

$A_{DEC}= \dfrac{60d}{2}$

Esto porque la base es 60 cm y la altura es la incógnita ''d''. Si reemplazamos todo esto en la expresión (1) sería:

$\underbrace{\dfrac{(80)(30+d)}{2}}_{ A_{ABC}} = \underbrace{\left(\ \dfrac{80+60}{2}\right)30}_{ A_{ABDE} }+ \underbrace{\dfrac{60d}{2}}_{ A_{CDE} } \\ \\ 40(30+d)=(70)(30)+30d \\ \\ 1200+40d=2100+30d \\ \\ 40d-30d=2100-1200 \\ \\ 10d=900 \\ \\ d= \dfrac{900}{10} \therefore \boxed{d=90 \ cm}$

Y llegamos a que el valor de ''d'' que encaja con la geometría es de 90 cm. Pero el enunciado nos pide la distancia respecto a la base mayor, por lo que habrá que sumar la altura del trapecio.

La respuesta es 90 + 30 = 120 cm.

Un saludo :)