Question

Si CXD tiene 8 parejas ordenadas y C tiene 2 elementos, cuántos elementos tiene D?

Answer 1

3.3 Producto Cartesiano. 



3.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: 

A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}.

En consecuencia: 

(x, y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B 

(x, y) ∉ A x B ⇔ x ∉ A ∨ y ∉ B

En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene: 

R x R = {(x, y) / x ∈R ∧ y ∈ R }.

R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Se establece una relación biunívocaentreR x Ry el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y). 

Ejemplo 1: 

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: 

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Ejemplo 2: 

Sean A = {x / x ∈R∧1 < x ≤ 3 }, 

        B = {x / x ∈R∧-2 ≤ x < 2 }. 

Su representación geométrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. 

Ejemplo 3: 

Sean A = {x / x ∈N∧1 ≤ x < 4}, B = {x / x ∈R ∧1 ≤ x ≤ 3}. 

Representar A x B en el plano cartesiano. 


Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que ai∈ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An. 


3.3.2 Propiedades del producto cartesiano. 


3.3.2.1 A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ A x B ⊂ X x Y. 

3.3.2.2 A x B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0. 

3.3.2.3 A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 ⇒ A x B ≠ B x A. 

3.3.2.4 A x (B • C) = (A x B)( A x C). 

3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ). 

Demostración de 3.3.2.2:
Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0; entonces existen elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B. Luego la pareja (a,b) ∈ A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0. 
Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ≠ 0, existirá (a, b) ∈ A x B entonces a ∈ A en contradicción con la suposición de que A = 0. 
Análogamente se razona en el caso de que B = 0. 

Demostración de 3.3.2.4: (x, y) ∈ A x (B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B • C. ⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C). ⇔ ( x ∈A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C). ⇔ (x, y) ∈ A x B ∧ (x, y) ∈ A xC. ⇔ (x, y) ∈ (A x B) • (A x C).3.3.3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene:
| A x B | = | A| | B| .
puesto que:A x B = {(a, b): a ∈ A ∧ b ∈ B}.

y para cada una de las | A | elecciones de a en A hay | B| elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b). 

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante.3.3.3.1 Reglas del producto.Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene:                      k
| A1x A2x ... x An|= ∏ | Aj | 
                        j =1

De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k-adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.En general dados a1, a2,..., aj-1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nk elementos.

Ejemplo 5: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas. 

Answer 2

Respuesta:

D tiene 4 elementos

C tiene dos y D tiene 4, con eso te daría 8 pares ordenados