Question

Algebraa
a²+b²- 7=0
x²=28-y²
ay=12+bx
Hallar: (ax+by)²- 7²

Answer 1

Se nos pide hallar: (ax+by)² - 7²

Ahora, a partir de las ecuaciones dadas, buscaré un valor numérico para (ax+by)²
 [ esperemos tenga suerte ;) ]

Veamos

Si:

• a² + b² - 7 = 0      →    a² + b² = 7      .......... (1)
 
• x² = 28 - y²          →    x² + y² = 28    ........... (2)


Multiplicamos (1) con (2) miembro a miembro:

(a² + b²)(x²+y²) = 7(28)

(ax)² + (ay)² + (bx)² + (by)² = 196

(ay)² + (bx)²  =  196 - (ax)² - (by)²   ............ (3)


de: ay=12+bx    →  ay - bx = 12  → (ay - bx)² = (12)²

          (ay)² + (bx)² - 2abxy  = 144 ............ (4)

Reemplazamos (3) en (4):

    196 - (ax)² - (by)² -  2abxy  = 144

       52 = (ax)² + (by)² + 2(ax)(by)

         52 = (ax + by)²

(Vaya! , lo hemos logrado!! ... continuemos  ...)

Por último,  lo que nos piden hallar es:

(ax+by)² - 7² =  52 - 49
                
   $\boxed{(ax+by)^2 - 7^2 = 3}$


Eso es todo! Saludos :)    Jeyson(Jmg)

Answer 2

a²+b²- 7=0  
x²=28-y²
ay=12+bx => ay - bx = 12 


Hallar: (ax+by)²- 7²
Desarrollemos esto :
a²x² + 2axby + b²y² - 7²
a²x² + b²y² + 2axby - 7²

Los términos  a²x² + b²y²  deben venir de algún producto , voy a suponer que vienen de este :

(a² + b²)(x² + y²) = a²x² + a²y² + b²x² + b²y² , se cumple nuestro objetivo pero quedan 2 términos que sobran ( a²y² + b²x²) entonces se lo restamos :

( a² + b²)(x² +y²) - a²y² - b²x² = a²x² + b²y²

Fijate que encontramos una equivalencia , si lo reemplazaramos quedaría así :

Hallar : 
( a² + b²)(x² +y²) - a²y² - b²x² + 2axby - 7²           (❶)

Hay unos términos (- a²y² - b²x²) que no tenemos el valor númerico , pero nos dan esta ecuación :

ay=12+bx 
ay - bx = 12 / Elevamos al cuadrado :

a²y² - 2aybx + b²x² = 144 

Arreglamos un poquito :

a²y² + b²x² = 144 + 2aybx   / Multiplicando por -1 
-a²y² - b²x² = -144 - 2aybx

Reemplazando en (❶) : 
( a² + b²)(x² +y²) - a²y² - b²x² + 2axby - 7²  
( a² + b²)(x² +y²) - 144 - 2aybx + 2axby - 7²  

Se simplifica a : 
( a² + b²)(x² +y²) - 144 - 7² 

Para hallar este producto solo despejamos :

a²+b²- 7=0   => a²+b² = 7
x²=28-y²   => x² + y² = 28

Reemplazando :

7 * 28 - 144 - 49
 = 3

Saludos :)