Question

5 PUNTOS YA...

Demostrar que :4x^2+9y^2-16x+18y-11=0 es la ecuación de una elipse y determine:

A. Centro

B. Focos

C. Vértices

Answer 1

Tenemos como cónica una elipse si se presentan en la ecuación dos variables cuadráticas de diferente coeficiente y sumándose, siguiendo la forma:

$\frac{(x-h)^{2} }{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2} }{b^{2}}=1$

Tenemos la ecuación:

4x² + 9y² - 16x + 18y - 11 = 0

Agrupamos las x:

4x² - 16x + 9y² + 18y - 11 = 0

4(x² - 4x) + 9(y² + 2y) - 11= 0 

Completamos cuadrados para ambos:

4(x² - 4x + 4 - 4) + 9(y² + 2y + 1 - 1) = 11

4(x - 4)² - 16 + 9 (y + 1)² - 9 = 11

4(x - 4)² + 9 (y + 1)² - 25 = 11

4(x - 4)² + 9 (y + 1)² = 36

Dividimos todo por 36:

4(x - 4)²/36 + 9 (y + 1)²/36 = 36/36

(x - 4)²/9 + (y + 1)²/4 = 1

$\frac{(x-4)^{2} }{3^{2}} + \frac{(y+1)^{2} }{2^{2}}=1$

Con a = 3 y b = 2

CENTRO

(h, k) → (2, -1)

Para los VÉRTICES, se cumple que:

Vértice 1: (h + a, k) → (2 + 3, -1) → (5, -1)
Vértice 2: (h - a, k) → (2 - 3, -1) → (-1, -1)

Para los FOCOS, se cumple que:

Se tiene que c² = a² - b²
c = √(9 - 4) = √5

Foco 1: (h + c, h) → (2 + √5, -1) 
Foco 2: (h - c, h) → (2 - √5, -1)