Ana encontró un cartón rectangular en su casa y decide reutilizarlo, elaborando con él una caja sin tapa que le servirá para guardar los cables y accesorios de su celular. El cartón mide 80 por 60 centímetros y de la caja, la realizará recortando cuatro cuadrados iguales en cada una de las esquinas. Recuerda que, para expresar la Superficie de la caja, debemos identificar primero que al recortar los cuadros de las esquinas se forman cinco rectángulos, y que la Superficie de un rectángulo se obtiene al multiplicar la base por la altura, es decir S = bh. Si tienes cinco rectángulos, debes obtener la expresión para cada uno, para la Superficie 1 (S1) la base es x y la altura es 60 – 2x, entonces la expresión de la Superficie 1 sería: S1 = x (60 – 2x) 1. Si esa es la expresión algebraica para S1, ahora anota las otras cuatro superficies: S2 = S3 = S4 = S5 = 2. Escribe la expresión de la Superficie sumando las cinco expresiones obtenidas anteriormente S = Para calcular el Volumen de la caja, recordemos que el Volumen se obtiene al multiplicar la Superficie de la base por la altura, en este caso, la Superficie de la base es S5 y la altura x. 3. Escribe la expresión algebraica que representa el Volumen de la caja. V = (S5) (x) V = 4. ¿Cuál es el Volumen de la caja si su altura es de 7 cm?
5. ¿Cuál es la Superficie de la caja si la altura es de 4 cm? Resultado
Respuestas
La forma de las superficies de la caja y el cartón se aprecian en la imagen.
Datos:
lc = 80 cm
ac = 40 cm
El área total del cartón (Ac) se obtiene de multiplicar la base o largo del cartón (lc) por el ancho del mismo (ac)
Ac = lc x ac = 80 cm x 40 cm = 3.200 cm²
Ac = 3.200 cm²
De la imagen se tiene que:
S1 = S2 = X(40 - 2X) = - 2X² + 40X
S3 = S4 = X(80 - 2X) = - 2X² + 80X
S5 = (40 - 2X) (80 - 2X) = 4X² - 240X + 3200
La Superficie total de la caja (STb) es la sumatoria de las superficies.
STb = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
Como S1 = S2 y S3 = S4, entonces:
STb = 2S1 + 2S3 + S5
STb = 2(- 2X² + 40X) + 2(- 2X² + 80X) + 4X² - 240X + 3200
STb = -4X² + 80X -4X² + 160X + 4X² - 240X + 3200 = - 4X²+ 3200
STb = - 4X² + 3200
El Volumen de la caja (Vb) se calcula a partir de la base (S5) de esta por la altura (X)
Vb = (S5)(X)
Vb = (4X² - 240X + 3200)(x) = 4X³ - 240X² + 3200X
Vb = 4X³ - 240X² + 3200X
Para una altura (x) de 7 cm el volumen de la caja es:
Vb = 4(7)³ – 240(7)² + 3200(7) = 4(343) – 240(49) + 22400 = 1372 – 1680 + 22400 = 22092 cm³
Vb = 22.092 cm³
Si la caja tiene una altura (x) de 4 cm su área o superficie (STb) es:
STb = - 4X² + 3200 = -4(4 cm)² + 3200 = -16 cm² + 3.200 = 3.184 cm²
STb = 3.184 cm²
