Question

Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de f(x)=-x^2+3 y g(x)=x^2-2x-1 , entre x=-1 y X=2

Answer 1

Primero procedemos a encontrar los puntos de cortes de las dos funciones. Para esto igualamos las dos funciones:

$- x^{2} +3 = x^{2} -2x-1$

$2x^{2} -2x-4= 0$ ⇒ $x^{2} -x-2= 0$

⇒x= -1 ó x= 2

Si evaluamos estos valores en cualquiera de las 2 funciones obtenemos los 2 puntos de corte de la función:

P1(-1,2) y P2(2,-1) 

En la gráfica se observan las dos curvas y la región acotada es la que encierran las mismas.

Ahora el Área entre dos regiones es la integral de la resta de las dos funciones (la de arriba menos la de abajo)

$\int\limits^2_{-1}{(- x^{2} +3) - ( x^{2} -2x-1)} \, dx$

= $\int\limits^2_{-1}{(- 2x^{2} +2x+4) } \, dx$

= $( \frac{-2}{3} x^{3} +x^{2} +4x)$ (evaluado de -1 a 2)

= $( \frac{-2}{3} (-1)^{3} +(-1)^{2} +4(-1)) - ( \frac{-2}{3} (2)^{3} +( 2)^{2} +4(2)$)

= $\frac{20}{3} - (- \frac{7}{3}) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9$

Por lo tanto el área de la región es 9 $U^{2}$

Ahora el centroide viene dado por (X,Y) tales que:

X= $\frac{ \int\limits^a_b {x(f(x)-g(x))} \, dx }{A}$

= $\frac{ \int\limits^2_{-1} {x(- 2x^{2} +2x+4)} \, dx }{9}$

=  $\frac{ \int\limits^2_{-1} {(- 2x^{3} +2 x^{2} +4x)} \, dx }{9}$

= $\frac{ - \frac{ x^{4} }{2} + \frac{2}{3} x^{3} +2 x^{2} }{9}$ evaluado de -1 a 2

= $\frac{ - \frac{ (2)^{4} }{2} + \frac{2}{3} (2)^{3} +2(2)^{2} }{9} - (\frac{ - \frac{ (-1)^{4} }{2} + \frac{2}{3}(-1)^{3} +2 -(-1)^{2} }{9})$

= $\frac{16}{27} - \frac{5}{54}$ = $\frac{1}{2}$

 ⇒ X= $\frac{1}{2}$

Ahora Y viene dado por:

Y= $\frac{ \frac{1}{2} \int\limits^2_{-1} { f(x)^{2} - g(x)^{2} } \, dx }{y}$

Primero calculamos $f(x)^{2} - g(x)^{2}$

$(- x^{2} +3)^{2} - ( x^{2} -2x-1)^{2}$

=$( x^{4}-6 x^{2} +9 )- ( x^{4}-4 x^{3} +2 x^{2} +4x+1 )$

= $4 x^{3} -8 x^{2} -4x+8$

Ahora sustituimos en la ecuación

Y= $\frac{ \frac{1}{2} \int\limits^2_{-1} { (4 x^{3} -8 x^{2} -4x+8 )} \, dx }{9}$

= $\frac{ \frac{1}{2} (x^{4} - \frac{8}{3} x^{3} -2 x^{2} +8x )}{9}$ Evaluado de -1 a 2

= $\frac{ \frac{1}{2} (2^{4} - \frac{8}{3} (2)^{3} -2 (2)^{2} +8(2) )}{9} - (\frac{ \frac{1}{2} ((-1)^{4} - \frac{8}{3} (-1)^{3} -2(-1)^{2} +8(-1) )}{9})$

= $\frac{4}{27} - (-\frac{19}{54} ) = \frac{4}{27} +\frac{19}{54} = \frac{1}{2}$

⇒ Y= $\frac{1}{2}$

Por lo tanto el centroide es = 

$( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} )$